Fréchet-Verteilung

Fréchet-Verteilung

Die Fréchet-Verteilung ist eine stetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen echt positiven reellen Skalierparameter α nutzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Inhaltsverzeichnis

Verteilungs und Dichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter α >0 die Verteilungsfunktion

Φα(x) = exp( − 1 / xα)

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

 {{\phi}_{\alpha}}(x)=\alpha \; x^{-(\alpha+1)} \; e^{-x^{-\alpha}}

Momente und Median

Im Folgenden sei X eine α-Fréchet-verteilten Zufallsvariable.

Median

Der Median ist

median(X)=\left(\frac{1}{\log_e(2)}\right)^{1/\alpha}

Existenz von Momenten

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn α >k.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist

 E(X)= \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right).

Varianz

Die Varianz ist

var(X)= \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2

Schiefe

Die Schiefe ist

skew(X)= \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\sqrt{ \left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^3 }}

Kurtosis

Die Kurtosis ist

kurtosis(X)= -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}

Sonstiges

Nach dem Theorem von Fisher-Tippet kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist. Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur

  • Franke, J., Härdle, W., Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2008), ISBN 3-540-762698
  • Franke, J., Hafner, C. M., Härdle, W.: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2004), ISBN 3-540-405585

Einzelnachweise

  • [1] – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011

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