Weingartenabbildung

Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ($\mathbb{R}^3$), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

Vorbereitung

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung

$\begin{align} X\colon \R^2 \supset A & \to \R^3 \\ (u,v) & \mapsto X(u,v) \end{align}$

gegeben. Dabei sei X mindestens zweimal stetig differenzierbar und die Ableitung DX_(u,v), eine lineare Abbildung von $\R^2$ nach $\R^3$, habe überall vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des $\R^3$, der Tangentialraum der Fläche im Punkt p = X(u,v). Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt p = X(u,v) angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren

$X_1(u,v) = X_u(u,v) = \tfrac{\partial X}{\partial u}(u,v) = DX_{(u,v)}(e_1)$ und

$X_2(u,v) = X_v(u,v) = \tfrac{\partial X}{\partial v}(u,v) = DX_{(u,v)}(e_2)$

aufgespannt. (Hierbei bezeichnen e₁ und e₂ die Einheitsvektoren der Standardbasis des $\R^2$.)

Die Einheitsnormale N(u,v) im Punkt p = X(u,v) der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:

$N(u,v) = \frac{X_u(u,v)\times X_v(u,v)}{|X_u(u,v)\times X_v(u,v)|}$

Somit ist N eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich$A \subset \R^2$ in den Vektorraum $\R^3$. Den Bildvektor N(u,v) denkt man sich angeheftet an den Punkt p = X(u,v). Die Abbildung DN_(u,v) im Punkt (u,v) ist eine lineare Abbildung von $\R^2$ nach $\R^3$. Aus der Bedingung, dass N(u,v) ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar (u,v) das Bild der Abbildung DN_(u,v) im Tangentialraum der Fläche im Punkt p = X(u,v) liegt und somit im Bild der Abbildung DX_(u,v). Da DX_(u,v) injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung (DX_(u,v)) ^{− 1} als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt X(u,v).

Definition

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

Im Parameterbereich

Die Abbildung DN_(u,v) bildet den $\R^2$ auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt X_(u,v) ab. Die Abbildung DX_(u,v)) ^{− 1} bildet diesen Tangentialraum wieder auf den $\R^2$ ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

$L_{(u,v)} = -(DX_{(u,v)})^{-1} \circ DN_{(u,v)}$

von $\R^2$ nach $\R^2$ heißt Weingartenabbildung an der Stelle (u,v).

Auf der Fläche

Die Abbildung DX_(u,v)) ^{− 1} bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt p = X(u,v) in den $\R^2$ ab. Die Abbildung DN_(u,v) bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

$L_{X(u,v)} = -DN_{(u,v)}\circ (DX_{(u,v)})^{-1}$

bildet den Tangentialraum im Punkt p = X(u,v) auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt p = X(u,v). Es gilt also

L_X(u,v)X_i(u,v) = − N_i(u,v) für i = 1,2.

Koordinatendarstellung

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis X_u(u,v), X_v(u,v), so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen

$\begin{pmatrix} h^1{_1}(u,v) & h^1{_2}(u,v) \\ h^2{_1}(u,v) & h^2{_2}(u,v) \end{pmatrix}$

überein. Sie sind durch die Gleichungen

L_X(u,v)(X_u(u,v)) = − N_u(u,v) = h¹₁(u,v)X_u(u,v) + h²₁(u,v)X_v(u,v)

L_X(u,v)(X_v(u,v)) = − N_v(u,v) = h¹₂(u,v)X_u(u,v) + h²₂(u,v)X_v(u,v)

charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit X₁ = X_u, X₂ = X_v, N₁ = N_u = DN_(u,v)(e₁), N₂ = N_v = DN_(u,v)(e₂) und unter Weglassung des Arguments:

L(X_j) = − N_j = hⁱ_jX_i

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform

Für jedes Parameterpaar (u,v) ist die erste Fundamentalform g_(u,v) ein Skalarprodukt im $\R^2$ und die zweite Fundamentalform h_(u,v) eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren $w_1, w_2 \in \R^2$ gilt

h(w₁,w₂) = g(w₁,Lw₂).

Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention

h_ik = g_ijh^j_k

und

hⁱ_k = g^ijh_jk.

Eigenschaften

Die Hauptkrümmungen sind Eigenwerte der Weingartenabbildung

• Die Weingartenabbildung L ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform g, das heißt, für alle $w_1, w_2 \in \R^2$ gilt
  $g(w_1, L w_2) = g(L w_1, w_2)\,.$
  In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von L, die orthonormal bezüglich g ist.
• Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
• Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
• Für einen Vektor $w\in T_{(u,v)}\R^2$ beschreibt Lw die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
• Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

Literatur

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. 4 Auflage. Vieweg, 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.