Friedrichssche Erweiterung

Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

Halb-beschränkte Operatoren

Wir betrachten einen linearen Operator A, der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums H definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von A und wird mit D(A) bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator A zu einem auf einem D(A) umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator A heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl c gibt, so dass $\langle A\xi,\xi \rangle \ge c\|\xi\|^2$ für alle $\xi \in D(A)$. Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle $\langle A\xi,\xi \rangle$ reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das c steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.^[1]

Energetischer Raum

Sei A ein halb-beschränkter Operator mit $\langle A\xi,\xi \rangle \ge c\|\xi\|^2$ für alle $\xi \in D(A)$ und λ sei eine reelle Zahl mit λ + c > 0. Sei

$[\xi,\eta]_\lambda := \langle A\xi,\eta\rangle + \lambda \langle \xi,\eta\rangle$ für $\xi,\eta\in D(A)$.

Dann ist $[\cdot,\cdot ]_\lambda$ eine positive definite Form auf D(A) und man kann daher die Norm $\|\xi\|_\lambda := \sqrt{[\xi,\xi]_\lambda}$ auf D(A) definieren. D(A) ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

$H_\lambda := \{\xi \in H; {\rm Es\, gibt\, eine\, Folge}\, (\xi_n)_n \,{\rm in} \,D(A)\, {\rm mit} \|\xi_n-\xi\|\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 \, {\rm und} \,\|\xi_n-\xi_m\|_\lambda \stackrel{n,m\to\infty}{\longrightarrow} 0 \}$.

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf H bezieht. Eine Folge (ξ_n)_n in der Definition von H_λ heißt eine approximierende Folge für $\xi\in H_\lambda$. Offenbar ist $D(A)\subset H_\lambda$, denn für $\xi \in D(A)$ kann man als approximierende Folge die konstante Folge ξ_n = ξ wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

• Sind $\xi,\eta \in H_\lambda$ mit approximierenden Folgen (ξ_n)_n und (η_n)_n, so existiert der Limes $[\xi,\eta]_\lambda := \lim_{n\to\infty}[\xi_n,\eta_n]_\lambda$ und setzt die auf D(A) definierte Form fort.
• H_λ ist mit der positiv definiten Form $[\cdot,\cdot]_\lambda$ ein Hilbertraum.
• Ist auch μ eine reelle Zahl mit μ + c > 0, so ist $H_\lambda = H_\mu \subset H$ als Mengen, die durch $[\cdot,\cdot]_\lambda$ bzw. $[\cdot,\cdot]_\mu$ definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum H_λ hängt also nur von A und nicht vom speziellen λ ab; er wird daher mit H_A bezeichnet und heißt der energetische Raum von A.

Friedrichssche Erweiterung

Sei A ein halb-beschränkter Operator. Dann ist A symmetrisch, das heißt es gilt $A\subset A^*$, wobei A ^* der adjungierte Operator ist. Definiert man

A_Fξ: = A ^* ξ für $\xi \in D(A_F):= H_A\cap D(A^*)$,

so ist A_F ein selbstadjungierter Operator, der A erweitert. A_F heißt die Friedrichssche Erweiterung von A.

Man beachte, dass im Allgemeinen weder A noch A ^* selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen A und A ^* gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von A ^* auf diesem Teilraum ist. Es ist daher $A\subset A_F \subset A^*$

Quellen

• Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, 1980.

Einzelnachweise

1. ↑ Franz Rellich: Halbbeschränkte Differentialoperatoren höherer Ordnung Abgerufen am 17. Juni 2011