Einbettung (Mathematik)

Einbettung (Mathematik)

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter einer Einbettung eine Abbildung, die es ermöglicht, ein Objekt als Teil eines anderen aufzufassen.

Häufig ist damit lediglich eine injektive Abbildung oder ein Monomorphismus gemeint. Beispielsweise spricht man von der kanonischen Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen.

Darüber hinaus gibt es in einigen Gebieten speziellere Einbettungsbegriffe.

Inhaltsverzeichnis

Topologie

In der Topologie bezeichnet man eine Abbildung f zwischen zwei topologischen Räumen X und Y als Einbettung von X in Y, wenn f ein Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) seines Bildes ist (in der Teilraumtopologie).

Es sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • die Abbildung f\colon X \rightarrow Y ist eine Einbettung.
  • f ist injektiv, stetig und als Abbildung nach f(X) offen, d.h. für jede offene Menge O von X ist das Bild f(O) wieder offen in f(X).
  • f ist injektiv und stetig, und für alle topologischen Räume T und alle stetigen Abbildungen t\colon T\rightarrow Y, welche über X faktorisieren (d.h. es gibt eine Abbildung t_0\colon T\rightarrow X mit t=f\circ t_0 ), ist die induzierte Abbildung t_0\ stetig. (Universelle Eigenschaft)

Im Allgemeinen ist eine Einbettung f\colon X \rightarrow Y nicht offen, d.h. für U \subset X offen muss f(U) nicht offen in Y sein, wie das Beispiel der üblichen Einbettung f:\R\to \C zeigt. Eine Einbettung f ist genau dann offen, wenn das Bild f(X) in Y offen ist.

Differentialgeometrie

Unter einer glatten Einbettung versteht man eine topologische Einbettung, die zudem noch eine Immersion ist.

Literatur

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Einbettung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Einbettung — (engl.: embedding; adj.: embedded) bezeichnet: Einbettung (Fossilisation) Einbettung (Linguistik) Einbettung (Mathematik) Einbettung (Informatik) Embedding / embedded (eingebettet, integriert) bezeichnen: Embedded Journalist, Einbettung im… …   Deutsch Wikipedia

  • Einbettung (Kategorientheorie) — Treue Funktoren und die hier ebenfalls zu besprechenden vollen und volltreuen Funktoren, die eng damit zusammenhängen, sind in der mathematischen Theorie der Kategorientheorie betrachtete Funktoren mit speziellen Eigenschaften. Inhaltsverzeichnis …   Deutsch Wikipedia

  • Einbettung — Ein|bet|tung 〈f. 20〉 das Einbetten, das Eingebettetsein * * * Ein|bet|tung, die; , en: das Einbetten; das Eingebettetwerden. * * * Einbettung,   1) Mathematik: Die Einbettung einer mathematischen Struktur A (z. B. eines Körpers) in eine… …   Universal-Lexikon

  • Fläche (Mathematik) — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses… …   Deutsch Wikipedia

  • Injektiv (Mathematik) — Eine injektive Funktion; X ist die Definitionsmenge und Y die Zielmenge. Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert …   Deutsch Wikipedia

  • Injektivität (Mathematik) — Eine injektive Funktion; X ist die Definitionsmenge und Y die Zielmenge. Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert …   Deutsch Wikipedia

  • Abbildung (Mathematik) — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert …   Deutsch Wikipedia

  • Dualität (Mathematik) — In vielen Bereichen der Mathematik gibt es die folgende Situation: zu jedem Objekt X der jeweils betrachteten Klasse gibt es ein duales Objekt Y = X , dessen duales Objekt Y = (X ) wiederum X ist oder zumindest X sehr nahe kommt. Häufig gibt es… …   Deutsch Wikipedia

  • Funktion (Mathematik) — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y… …   Deutsch Wikipedia

  • Größe (Mathematik) — Größen werden mathematisch als reelle Vielfache einer Einheit dargestellt, im Rahmen eines von einer Einheit erzeugten reellen Vektorraums. Die Multiplikation der Einheit x mit einer reellen Zahl r heißt auch Skalarmultiplikation und wird als rx… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”