Diskrete Metrik

Die diskrete Metrik ist eine spezielle Metrik, welche auf jeder beliebigen Menge definiert werden kann. Sie macht folglich jede Menge zu einem metrischen Raum. Da sie auf jeder Menge definiert werden kann, verlangt sie, im Gegensatz zu den meisten anderen bekannten Metriken, keine bereits vordefinierten Rechenoperationen auf der ihr zugeordneten Menge.

Definition

Seien $x,y \in M$ mit $x\ne y$, dann ist $d(x,y)=1\,$. Mehr ist nicht anzugeben, da für den hier nicht betrachteten Fall x = y sofort aus den Metrikaxiomen $d(x,y)=0\,$ folgt. Die diskrete Metrik ordnet also jedem Paar verschiedener Punkte den identischen Abstand 1 zu.

Nachweis der Metrikaxiome

Um zu zeigen, dass die diskrete Metrik mit der angegebenen Definition auch tatsächlich eine Metrik ist, sind die drei Metrikaxiome nachzuweisen.

1. Das erste Axiom ist direkt aus der Definition ersichtlich.
2. Das zweite Axiom besagt die Symmetrie. Es ist also zu zeigen, dass $d(x,y)=d(y,x)\,$. Im Falle $x\ne y$ ist beides 1, anderenfalls 0.
3. Für die Dreiecksungleichung ist zu zeigen:

$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

Auch hier unterscheidet man wieder zwei Fälle. Für den Fall x=z ist die Abschätzung die folgende:

$d(x,z)=d(x,x)=0 = 0+0\le d(x,y)+d(y,z)$

Für den Fall $x\ne z$ ist ohne Beschränkung der Allgemeinheit $x\ne y$ und damit gilt:

$d(x,z)=1=1+0\le d(x,y)+d(y,z)$

Damit sind die drei Metrikaxiome nachgewiesen und es ist gezeigt, dass die diskrete Metrik wirklich auf jeder Menge eine Metrik ist.

Eigenschaften

• Da der Abstand zwischen zwei verschiedenen Elementen unabhängig von der Wahl der Elemente der gleiche ist, ist die diskrete Metrik sogar eine Ultrametrik.
• Abbildungen von einem metrischen Raum ausgestattet mit der diskreten Metrik in einen beliebigen anderen metrischen Raum oder auch nur topologischen Raum sind immer stetig.

• Anders ausgedrückt: Durch die diskrete Metrik wird auf einem beliebigen Raum die diskrete Topologie induziert. Jede andere Topologie auf diesem Raum ist gröber als die diskrete Topologie (→vergleiche Initialtopologie und Finaltopologie).

• Jeder metrische Raum ausgestattet mit der diskreten Metrik ist auch automatisch vollständig. Das heißt, jede Cauchy-Folge konvergiert.
• Im Sinne der diskreten Metrik konvergente Folgen konvergieren auch im Sinn jeder anderen Metrik ihres Bildraumes, da sie ab einem bestimmten Folgenglied konstant werden.
• Jede Teilmenge eines metrischen Raumes ausgestattet mit der diskreten Metrik ist zugleich offen und abgeschlossen.
• Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ausgestattet mit der diskreten Metrik ist genau dann kompakt, wenn sie endlich ist.

Siehe auch

• Metrischer Raum
• Diskrete Topologie
• Französische Eisenbahnmetrik