- Artin-Schreier-Theorie
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Die Artin-Schreier-Theorie gehört in der Mathematik zur Körpertheorie. Für Körper positiver Charakteristik p beschreibt sie abelsche Galois-Erweiterungen vom Exponenten p und ergänzt damit die Kummer-Theorie. Sie ist benannt nach Emil Artin und Otto Schreier.[1]
Inhaltsverzeichnis
Motivation: zyklische Erweiterungen vom Grad p
Sei K ein Körper der Charakteristik p. Der Ausgangspunkt der Artin-Schreier-Theorie ist das Artin-Schreier-Polynom
- fa(X) = Xp − X − a
für ein . Aus dem kleinen Satz von Fermat oder abstrakter aus den Eigenschaften des Frobeniushomomorphismus folgt: Für ist fa(X + c) = fa(X). Daraus ergibt sich: Ist ω eine Nullstelle von fa(X) in einem Erweiterungskörper von K, dann sind die weiteren Nullstellen . Hat fa(X) keine Nullstelle in K, ist es folglich irreduzibel, und der Erweiterungskörper K(ω) / K ist galoissch mit Galois-Gruppe , erzeugt von .
Sei umgekehrt L / K eine Galois-Erweiterung vom Grad p und σ ein Erzeuger der Galois-Gruppe. Nach dem Normalbasissatz existiert ein , so dass eine Basis von L als K-Vektorraum ist. Nach Konstruktion ist die Spur
nicht 0. Setze
Dann ist
Damit ist
- σ(ωp − ω) = (σω)p − σω = (ω + 1)p − (ω + 1) = ωp − ω
Damit ist a = ωp − ω invariant unter der Galois-Gruppe, liegt also in K.
Das so konstruierte Element hängt von der Wahl von x ab, aber in kontrollierter Weise: Ist ein anderes Element mit σω1 = ω1 + 1, dann ist σ(ω − ω1) = (ω + 1) − (ω1 + 1) = ω − ω1, also ist ω1 = ω + d mit einem Element , und
Folglich ist die Restklasse von a modulo eindeutig bestimmt.
Resultate
Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0.
- Sei . Die Abbildung, die einem Element den Zerfällungskörper des Polynoms Xp − X − a zuordnet, induziert eine Bijektion von auf die Menge der Isomorphieklassen von Galois-Erweiterungen von K vom Grad p.
Die allgemeinere Fassung von Ernst Witt lautet:[2]
- Sei Ksep ein separabler Abschluss von K und der additive Gruppenhomomorphismus . Dann gibt es die folgende explizite Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen von und der Menge der (nicht notwendigerweise endlichen) abelschen Erweiterungen von K vom Exponenten p (d.h. für jedes Element σ der Galoisgruppe gilt σp = id): Eine Untergruppe von werde mit ihrem Urbild in K identifiziert. Dann ist die zugehörige abelsche Erweiterung vom Exponenten p. Für endliche Untergruppen ist . Die Umkehrabbildung ordnet einer Erweiterung L / K die Gruppe zu.
Galoiskohomologische Interpretation
Sei weiterhin K ein Körper der Charakteristik p, Ksep ein separabler Abschluss von K und . Sei außerdem GK = Gal(Ksep / K) die absolute Galoisgruppe von K. Das Polynom Xp − X − a ist für jedes separabel, weil seine Ableitung pXp − 1 − 1 = − 1 ist. Deshalb ist der Homomorphismus surjektiv. Sein Kern ist . Man erhält also eine kurze exakte Sequenz von GK-Moduln:
Sie induziert in der Galoiskohomologie eine lange exakte Sequenz
Dabei wurde verwendet:
- H0(GK,Ksep) = K
- (stetige Homomorphismen), weil GK trivial auf operiert
- H1(GK,Ksep) = 0, weil über alle endlichen Galois-Erweiterungen von K ist. Mit einer Verallgemeinerung des oben angegebenen Arguments mit dem Normalbasissatz kann man H1(Gal(L / K),L) = 0 zeigen.
Für die Betrachtung von Erweiterungen vom Grad p ist die allgemeine Aussage aber nicht erforderlich: Sei L / K eine Galois-Erweiterung vom Grad p. Dann ist , und durch Verkettung mit der Projektion erhält man einen Homomorphismus . Mit der Einbettung erhält man einen 1-Kozykel , der aber schon in der Untergruppe H1(Gal(L / K),L) liegt. Das oben konstruierte Element hat die Eigenschaft c(σ) = σω − ω für alle , also ist c ein 1-Korand. Die allgemeine gruppenkohomologische Konstruktion zeigt, dass ein Urbild von h unter dem Verbindungshomomorphismus ist.
Ist umgekehrt gegeben, kann man ein Urbild wählen, und der Homomorphismus ist h(σ) = σω − ω. Der Kern von h und L = K(ω) entsprechen einander unter der Galois-Korrespondenz.
Also ist der sich aus der langen exakten Sequenz ergebende Isomorphismus mit der weiter oben erläuterten expliziten Konstruktion identisch.
Für die allgemeinere Aussage über Untergruppen muss man noch Untergruppen von mit Erweiterungen vom Exponenten p identifizieren: Einer Untergruppe entspricht der Fixkörper von , einer abelschen Erweiterung L / K vom Exponenten p entspricht die Untergruppe der Homomorphismen, die über den Quotienten faktorisieren.
Artin-Schreier-Symbol und Klassenkörpertheorie
Das Artin-Schreier-Symbol ist eine Ergänzung zum Potenzrestsymbol und dient wie dieses der expliziten Beschreibung der lokalen Reziprozitätsabbildung und führt so zu einer Teilaussage des Existenzsatzes der lokalen Klassenkörpertheorie. Sei K ein lokaler Körper der Charakteristik p > 0, d.h. isomorph zu einem formaler Laurentreihenkörper für eine Potenz q = pe. Das Artin-Schreier-Symbol entsteht aus der kohomologischen Paarung
durch Verkettung mit der Reziprozitätsabbildung . Ist und mit und , dann gilt:
- [a,b) = (b, * / K)ω − ω
Das Artin-Schreier-Symbol induziert eine nicht ausgeartete Bilinearform
Weitere Eigenschaften:
- Es gilt [a,b) = 0 genau dann, wenn b eine Norm in der Erweiterung K(ω) / K ist.
- Es gilt [a,a) = 0 für alle .
Das Artin-Schreier-Symbol hat die folgende explizite Beschreibung: Sei dT ein Symbol, der eindimensionale, von dT aufgespannte Vektorraum sowie
und die Residuenabbildung
(Die Konstruktion ist unabhängig vom Isomorphismus .) Für und ist dann:[3]
Aus dieser Formel kann man nachweisen, dass das Artin-Schreier-Symbol wie behauptet nicht ausgeartet ist. Daraus folgt, dass ein Element in K * , das für jede Galois-Erweiterung L / K vom Grad p in der Normengruppe NL / KL * liegt, eine p-te Potenz ist. Daraus folgt, dass der Schnitt aller Normengruppen trivial ist, ein wesentlicher Schritt (je nach Zugang) im Beweis des lokalen Existenzsatzes.[4]
Die lokalen Artin-Schreier-Symbole lassen sich auch zu einer globalen Paarung
(dabei der Adelring und die Idelgruppe) zusammensetzen und für den Beweis des globalen Existenzsatzes im Funktionenkörperfall benutzen.[5]
Geometrische Sichtweise
Im Zentrum der geometrischen Betrachtung steht der Artin-Schreier-Morphismus
der als Lang-Isogenie für die additive Gruppe aufgefasst werden kann (F ist der relative Frobeniusmorphismus). ist eine (zusammenhängende und mithin nicht triviale) étale Galois-Überlagerung mit Gruppe . Die Existenz von zeigt, dass die geometrische étale Fundamentalgruppe der affinen Geraden nicht trivial ist, im Unterschied zur Situation in Charakteristik 0.
Ein Körperelement entspricht einem Morphismus , und die Faser von über a ist entweder der triviale -Torsor oder die durch das Polynom Xp − X − a definierte Artin-Schreier-Erweiterung von K.
Zum Artin-Schreier-Torsor assoziierte Garben sind relevant für die Fourier-Deligne-Transformation.[6]
Artin-Schreier-Witt-Theorie
Die hier skizzierte Theorie verallgemeinert die Artin-Schreier-Theorie auf Erweiterungen, deren Exponent eine Potenz von p ist. Sie ist der Inhalt der Arbeit von Witt, in der er die Wittvektoren einführt.[7] Der erste Teil ist eine allgemeine Aussage über abelsche Erweiterungen von Körpern der Charakteristik p, der zweite Teil eine explizite Beschreibung eines Teils der lokalen Klassenkörpertheorie im Fall von Funktionenkörpern.
Sei wieder K ein Körper der Charakteristik p, Ksep ein separabler Abschluss von K und GK = Gal(Ksep / K) die absolute Galois-Gruppe von K. Sei Wn die Gruppe der p-typischen Wittvektoren der Länge n und F der Frobeniushomomorphismus
Mit
ist
eine exakte Sequenz von GK-Moduln, wobei verwendet wurde. Die Galois-Kohomologie H1(GK,Wn) verschwindet, weil die Quotienten bezüglich der V-Filtrierung isomorph zu Ksep sind und H1(GK,Ksep) = 0 gilt (siehe oben). Also ist , und wie oben erhält man daraus eine Korrespondenz zwischen abelschen Erweiterungen, deren Exponent ein Teiler von pn ist, und Untergruppen von .[8]
Sei ein lokaler Körper (formale Laurentreihen). Zu einem Wittvektor und einem Körperelement definiert Witt eine zentrale einfache Algebra A[a,b), die von u und den kommutierenden Elementen mit den Relationen
erzeugt wird. Dabei wird mit als einem Wittvektor gerechnet, und vu steht für den Wittvektor . Sei mit und , außerdem ( − ,L / K) die Reziprozitätsabbildung. Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist definiert als
Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist eine nichtausgeartete bilineare Paarung
Es ist [a,b) = 0 genau dann, wenn gilt. Der Wert des Symbols ist gleich der Invariante der zentralen einfachen Algebra: [a,b) = inv(A[a,b)). Witt gibt auch eine Beschreibung der Invariante als ein auf Wittvektoren von Laurentreihen fortgesetztes Residuum.[9]
Literatur
- Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66671-0, Kap. VI §1.
- Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549-631.
- J.-P. Serre: Local Fields. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90424-7.
Fußnoten
- ↑ Die Originalarbeit ist: Emil Artin, Otto Schreier: Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper. In: Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 5, Nr. 1, 1927, S. 225-231, doi:10.1007/BF02952522.
- ↑ Roquette 2001, Kap. 7.2. Die Originalarbeit ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 173, 1935, S. 34-51.
- ↑ Formel erstmals angegeben von Hermann Ludwig Schmid, siehe Roquette 2001, Kap. 7.1. Die Originalarbeit ist: Hermann Ludwig Schmid: Über das Reziprozitätsgesetz in relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörpern mit endlichem Konstantenkörper. In: Mathematische Zeitschrift. 40, 1935, S. 91-109.
- ↑ Serre 1979, XIV §6
- ↑ André Weil: Basic Number Theory. 3 Auflage. Springer, New York 1974, ISBN 0-387-06935-6, Kap. XIII §7. Shokichi Iyanaga: The Theory of Numbers. North-Holland, Amsterdam 1975, ISBN 0-444-10678-2, Kap. V §4.
- ↑ Reinhardt Kiehl, Rainer Weissauer: Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l-adic Fourier Transform. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-41457-6.
- ↑ Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math.. 176, 1936, S. 126-140.
- ↑ Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, San Francisco 1980, ISBN 0-7167-1079-X, Kap. 8.11. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-33942-7, Kap. IX §1 Ex. 19-21.
- ↑ Siehe auch: Lara Thomas: Ramification groups in Artin-Schreier-Witt extensions. In: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. 17, Nr. 2, 2005, S. 689-720 (online).
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