Butterworth-Filter

Butterworth-Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter, die so ausgelegt sind, dass der Frequenzgang unterhalb der Grenzfrequenz ω_g möglichst lange horizontal verläuft. Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die Übertragungsfunktion abnehmen und in die Verstärkungsabnahme von n·20dB pro Frequenzdekade übergehen (n ist die Ordnung des Butterworth-Filters). Die einfachste Form des Butterworth-Filter 1. Ordnung stellt das RC-Glied dar.

Das Bode-Diagramm eines Butterworth-Tiefpassfilters erster Ordnung

Die Dämpfung bei der Grenzfrequenz beträgt 3dB, das heißt ein Signal mit der Grenzfrequenz wird auf das $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071$ -fache des ursprünglichen Signals abgeschwächt. Butterworth-Filter haben sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich einen gleichmäßigen (glatten) Verlauf der Übertragungsfunktion.

Benannt wurde das Butterworth-Filter nach dem britischen Physiker Stephen Butterworth, der diese Art von Filter erstmals beschrieb ^[1].

Butterworth-Tiefpassfilter der Ordnungen 1 bis 5

Beispiel: Butterworth-Filter 2. Ordnung Tiefpass, realisiert als Sallen-Key-Filter.

Übertragungsfunktion

Daraus ergibt sich als Forderung an die Übertragungsfunktion:

$\left|\underline{A}\right|^2 = \frac{A_0^2}{1+ k_{2n} \Omega ^{2n}}$

mit

A₀ Gleichspannungsverstärkung

$\Omega = \frac{f}{f_g}$ auf Grenzfrequenz normierte Frequenz

n Ordnung des Filters

Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth-Filters.

Koeffizienten

Bringt man die Übertragungsfunktion in die normierte Form ($P = \frac {p}{\omega_0}$):

$A[P] = \frac{A_0}{\prod_{i} (1 + a_i P + b_i P^2)}$

ergeben sich für die Koeffizienten a_i und b_i folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

$i = 1 \ldots \frac {n}{2}$

$a_i = 2 \cos \frac{(2 i - 1) \pi}{2 n}$

$b_i = 1 \$

Ordnung n des Filters ungerade:

$i = 2 \ldots \frac{(n + 1)}{2}$

$a_1 = 1 \$

$b_1 = 0 \$

$a_i = 2 \cos \frac{(i - 1) \pi}{n}$

$b_i = 1 \$

Eigenschaften

Das Butterworth-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

• monotoner Amplitudengang sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich
• schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung
• beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung
• der Phasenverlauf besitzt eine kleine Nichtlinearität
• relativ frequenzabhängige Gruppenlaufzeit
• großer Realisierungsaufwand bei hoher Ordnung

Filterrealisierung

Das Butterworth-Filter mit einer gegebenen Übertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden:

Das k-te Element ist gegeben mit:

$C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]$ für k ungerade

$L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]$ für k gerade

In der digitalen Signalverarbeitung können Butterworth-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden. Die Kaskadierung zweier Butterworth-Filter n-ter Ordnung ergibt einen Linkwitz-Riley-Filter 2n-ter Ordnung.

Normalisierte Butterworth-Polynome

Die Butterworth-Polynome werden normalerweise geschrieben als komplex konjugierte Pole s₁ und s_n. Die Polynome sind zusätzlich um den Faktor ω_c=1 normalisiert. Die normalisierten Butterworth-Polynome haben somit die folgende Form:

$B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]$ für n gerade

$B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]$ für n ungerade

Auf 4 Dezimalziffern genau lauten sie:

n Faktoren der Polynome Bn(s) 1 (s + 1) 2 $s^2+\sqrt{2}s+1$ 3 (s + 1)(s2 + s + 1) 4 (s2 + 0,7654s + 1)(s2 + 1,8478s + 1) 5 (s + 1)(s2 + 0.6180s + 1)(s2 + 1.6180s + 1) 6 (s2 + 0,5176s + 1)(s2 + 1,4142s + 1)(s2 + 1,9319s + 1) 7 (s + 1)(s2 + 0,4450s + 1)(s2 + 1,2470s + 1)(s2 + 1,8019s + 1) 8 (s2 + 0,3902s + 1)(s2 + 1,1111s + 1)(s2 + 1,6629s + 1)(s2 + 1,9616s + 1)

Einzelnachweise

1. ↑ Stephen Butterworth: On the Theory of Filter Amplifiers In: Wireless Engineer, Band 7, 1930, Seiten 536–541

Siehe auch

• Bessel-Filter
• Cauer-Filter
• Tschebyscheff-Filter

Weblinks

• Analogfilter, Othmar Marti and Alfred Plettl, Universität Ulm
• Online Butterworth Tiefpassfilter Rechner