Bruchrechnung

Ein Kuchen ist in vier gleiche Teile geteilt. Jeder Teil des Kuchens entspricht ¹⁄₄. Wird eines der Kuchenstücke weggenommen, dann bleiben ³⁄₄ übrig: 1 − ¹⁄₄ = ³⁄₄.

Die Bruchrechnung im engeren Sinn bezeichnet das Rechnen mit Brüchen und gehört zur Arithmetik, einem Teilgebiet der Mathematik. Mit dem Wort Bruch ist dabei ein gemeiner oder gewöhnlicher Bruch gemeint, das ist eine bestimmte Darstellung für eine Bruchzahl (auch: rationale Zahl), die „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“, die weiter unten genauer beschrieben wird.

Die Regeln der Bruchrechnung beziehen sich auf die einfachen mathematischen Operationen Zusammenzählen, Abziehen, Malnehmen, Teilen und Kehrwertbildung. Dazu kommt eine Kürzungs- und Erweiterungsregel, die eine Besonderheit der Bruchdarstellung ist.

In einem weiteren Sinn versteht man unter Bruchrechnung das Rechnen mit Bruchtermen, das sind Ausdrücke, die formal wie gemeine Brüche gebildet werden, bei denen aber Zähler und Nenner Rechenausdrücke oder Terme sein können. Für diese Bruchterme gelten die Bruchrechenregeln sinngemäß.

Die Bruchschreibweise, also die Schreibweise mit Bruchstrich, wird ganz allgemein in verschiedenen Bereichen der Mathematik, besonders in der Algebra immer dann verwendet, wenn in der untersuchten Struktur die elementaren Bruchrechenregeln, insbesondere die Kürzungs- und Erweiterungsregel gelten. Auch hier spricht man immer dann von „Bruchrechnung“, wenn diese Regeln angewendet werden.

Definition und Bezeichnungen

Brüche lassen sich zunächst in gemeine Brüche (auch gewöhnliche Brüche genannt) und Dezimalbrüche (= Dezimalzahl, umgangssprachlich: „Kommazahl“) einteilen, daneben gibt es noch die Darstellung als gemischter Bruch. Wenn man von einem Bruch spricht, meint man in der Regel einen gemeinen Bruch, das Rechnen mit Dezimalbrüchen wird meistens nicht als Bruchrechnung bezeichnet.

In der nachfolgenden Tabelle sind gebräuchliche Bezeichnungen für Brüche zusammengefasst, die in diesem Abschnitt erklärt werden. Die in der Tabelle weiter unten stehenden Begriffe fallen jeweils unter die darüberstehenden Oberbegriffe, zum Beispiel ist jeder Scheinbruch ein gemeiner Bruch, nebeneinanderstehende Begriffe müssen sich nicht ausschließen. Dabei ist zu beachten, dass es sich um Bezeichnungen für Zahlschreibweisen und nicht für die dargestellten Zahlen handelt. Eine bestimmte Zahl kann verschiedene Darstellungen haben, die jeweils mit unterschiedlichen Begriffen aus der Tabelle bezeichnet werden. So kann man zum Beispiel jeden unechten Bruch auch als gemischten Bruch schreiben.

Bruch
gemeiner Bruch, gewöhnlicher Bruch					gemischter Bruch	Dezimalbruch
echter Bruch		unechter Bruch
Stammbruch	Zweigbruch	Scheinbruch	unechter Bruch, der kein Scheinbruch ist

Weitere Formen, in denen Bruchzahlen dargestellt werden können (Kettenbruch, Prozent- und Promilleschreibweise, Binärbrüche usw.) werden in je eigenen Artikeln behandelt und in dieser Tabelle nicht aufgeführt.

Gemeine Brüche

Beschreibung eines gemeinen Bruches

Gemeine Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner, getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:

$\frac{Z}{N}$

Zähler und Nenner eines Bruches sind ganze Zahlen. Dabei darf der Nenner N nicht null sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist.

Der Zähler Z ist dabei der Dividend der Division, der Nenner N ist der Divisor. So kann jede Divisionsaufgabe mit ganzen Zahlen Z und N auch als Bruch geschrieben werden:

$Z:N=\frac{Z}{N}$

Üblicherweise werden für Zähler und Nenner natürliche Zahlen verwendet und ein eventuell vorhandenes negatives Vorzeichen wird vor den Bruch gesetzt, also beispielsweise $-\tfrac{3}{4}$ statt $\tfrac{-3}{4}$ oder $\tfrac{3}{-4}$.

Bei einer Variante dieser Schreibweise, die oft verwendet wird, wenn gemeine Brüche in Texten vorkommen, werden Zähler, Bruchstrich und Nenner hintereinandergeschrieben und als Bruchstrich ein Schrägstrich verwendet:^[1] Zum Beispiel 1/2, 3/8. Bei der Schreibweise mit Schrägstrich an Stelle des waagrechten Bruchstrichs werden einstellige Zähler und Nenner manchmal verkleinert über bzw. unter den Schrägstrich geschrieben. Zu diesem Zweck existieren in vielen Druckzeichensätzen Sonderzeichen, wie zum Beispiel ¾ oder ½.

Echte und unechte Brüche

Wenn bei einem Bruch der Betrag des Zählers kleiner als der des Nenners ist, dann spricht man von einem echten oder eigentlichen Bruch (z. B. $\tfrac{6}{7}$ oder $\tfrac{2}{5}$), andernfalls von einem unechten oder uneigentlichen Bruch (z. B. $\tfrac{7}{7}$ oder $\tfrac{11}{3}$).

Stammbrüche und Zweigbrüche

Ist der Zähler in einem gemeinen Bruch gleich 1 (z.B. $\tfrac{1}{2}$ oder $\tfrac{1}{9}$), spricht man von einem Stammbruch, ansonsten von einem abgeleiteten Bruch oder Zweigbruch.

Scheinbrüche

Unechte Brüche, bei denen der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist (z.B. $\tfrac{12}{3}$), bezeichnet man als Scheinbrüche, da sie sich durch Kürzen in ganze Zahlen umwandeln lassen (im Beispiel in die Zahl 4). Insbesondere lässt sich jede ganze Zahl n als Scheinbruch $\tfrac{n}{1}$ schreiben.

Gemischte Brüche

Daneben ist eine gemischte Schreibweise von Bruchzahlen üblich. Bei dieser wird zunächst der ganzzahlige Anteil, d. h. die zur Null hin gerundete Zahl, und anschließend direkt danach der verbleibende Anteil als echter Bruch geschrieben. Zum Beispiel $1 \tfrac{1}{3}$ statt $\tfrac{4}{3}\;$ und $-3 \tfrac{3}{5}$ statt $-\tfrac{18}{5}$ .

Ein Problem der gemischten Schreibweise ist, dass sie als Produkt missverstanden werden kann:

$\textstyle a\,\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c} \quad\quad( 2\,\tfrac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3})$.

Hier ist die erste Gleichung nach den Regeln der Schreibweise falsch, da es sich um einen Term (mit Variablen) handelt. Hier muss das weggelassene Rechenzeichen ein Malpunkt sein (andere Rechenzeichen dürfen in Termen nicht weggelassen werden). Die in Klammern stehende zweite Gleichung ist richtig, da hier Zahlzeichen in dem Ausdruck stehen und er deshalb als gemischter Bruch verstanden werden muss. Andererseits ist bei den Ausdrücken

$\textstyle a\, \frac{b}{c} = \frac{a\cdot b}{c}\textstyle\quad\quad (2\,\frac{1}{3} = 2\cdot\frac{ 1}{3} = \frac{2}{3})$

nur die erste, nicht geklammerte Gleichung korrekt.

Für Berechnungen wird ein gemischter Bruch meist in einen Dezimalbruch (vorteilhaft für die Addition) oder einen gewöhnlichen Bruch (vorteilhaft für die Multiplikation) umgewandelt. Der gemischte Bruch ist für Berechnungen weniger geeignet, gibt aber im Vergleich zum gewöhnlichen Bruch eher „auf einen Blick“ eine Vorstellung von der Größenordnung der dargestellten Zahl. In manchen Ländern wie Frankreich ist die gemischte Schreibweise unüblich. Im deutschen Sprachraum wird sie jedoch oft im alltäglichen Sprachgebrauch angewendet: „Der Film ging zweieinhalb Stunden.“

Rechenregeln

Praktisches Rechnen mit Brüchen

Erweitern und Kürzen

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruches mit derselben Zahl multipliziert (den Bruch erweitert) oder durch einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner teilt (den Bruch kürzt).

Beispiel: $\tfrac{2}{3}=\tfrac{2\cdot 3}{3\cdot 3}=\tfrac{6}{9}$. Von links nach rechts gelesen wurde der Bruch erweitert, von rechts nach links gekürzt.

Brüche gleichnamig machen

Gemeine Brüche, die in ihrem Nenner übereinstimmen, heißen gleichnamig. Werden Brüche so erweitert, dass sie danach die gleichen Nenner haben, so nennt man das gleichnamig machen. Beim praktischen Rechnen sollte dazu der Hauptnenner der Brüche bestimmt werden, das ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner.

Beispiel: Die Brüche $\tfrac{2}{7};\tfrac{1}{6};\tfrac{9}{14}$ sollen gleichnamig gemacht werden. Das kgV der Nenner ist $2\cdot 3\cdot 7=42$, also werden alle drei Brüche so erweitert, dass ihr Nenner 42 lautet:

$\tfrac{2}{7}=\tfrac{2\cdot 6}{42}=\tfrac{12}{42};\quad\tfrac{1}{6}=\tfrac{1\cdot 7}{42}=\tfrac{7}{42};\quad\tfrac{9}{14}=\tfrac{9\cdot 3}{42}=\tfrac{27}{42}$.

Die gleichnamigen Darstellungen lassen sich nun beispielsweise verwenden, um die dargestellten Bruchzahlen der Größe nach zu vergleichen, indem man ihre Zähler vergleicht:

$\tfrac{7}{42}<\tfrac{12}{42}<\tfrac{27}{42}\;\;$, also muss $\;\;\tfrac{1}{6}<\tfrac{2}{7}<\tfrac{9}{14}\;$ gelten.

Addieren und Subtrahieren

Beispiel einer Addition von zwei gleichnamigen gemeinen Brüchen. $\tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4} = 1$ Man liest: „drei Viertel plus ein Viertel“

Die Brüche, die addiert oder subtrahiert werden sollen, werden zunächst gleichnamig gemacht, anschließend werden ihre Zähler addiert bzw.  subtrahiert. Die allgemeine Regel für diese Rechnungen bei gleichnamigen Brüchen lautet:

$\frac{a}{n} \; \pm \; \frac{b}{n} \; = \; \frac{a \pm b}{n}$

Beispiel: $\tfrac{1}{6} + \tfrac{2}{15} = \tfrac{5}{30} + \tfrac{4}{30} = \tfrac{9}{30} = \tfrac{3}{10}$.

Multiplizieren

Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler und Nenner miteinander multipliziert. Das Produkt der Zähler ist dann der Zähler des Ergebnisses, das Produkt der Nenner ist dann der Nenner des Ergebnisses.

Beispiel: $\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{9}{14} = \tfrac{2 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \tfrac{3}{7}$.

Dividieren

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

Beispiel: $\tfrac{2}{15} : \tfrac{14}{27} =\tfrac{2}{15} \cdot \tfrac{27}{14}=\tfrac{1\cdot 9}{5\cdot 7}=\tfrac{9}{35}$.

Dabei dürfen, wie im Beispiel dargestellt, Zwischenergebnisse gekürzt werden.

Abstrakte Rechenregeln

Die folgenden Regeln gelten sowohl beim Bruchrechnen im engeren Sinn als auch beim Rechnen mit Bruchtermen. Beim Rechnen mit Brüchen stehen die Variablen $a,\;b,\;c,\;d,\;n\;$ in den Regeln für bestimmte ganze Zahlen. Setzt man stattdessen für diese Variablen andere Ausdrücke, z. B. selbst wieder echte Brüche, Dezimalbrüche oder Terme ein, dann erhält man Regeln für das Rechnen mit Bruchtermen, das Bruchrechnen im weiteren Sinn.

Beim Rechnen mit Brüchen liefern die abstrakten Rechenregeln stets korrekte Ergebnisse, häufig ist die Rechnung mit den „praktischen Rechenregeln“ weniger aufwändig.

Erweitern und Kürzen

Kürzen $\rightarrow$
$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} \; = \; \frac{a}{b}$
$\leftarrow$ Erweitern

Hilfreiche Eselsbrücken hierzu sind:

• Faktoren kürzen, das ist brav; wer Summen kürzt, der ist ein Schaf.
• Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.
• Was du oben tust, machst du auch unten!

Aus der Äquivalenz $\frac a b = \frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ für beliebige natürliche Zahlen c > 0 folgt, dass jede rationale Zahl durch unendlich viele verschiedene Brüche dargestellt werden kann, denn es gilt $\frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}=\frac{3a}{3b}=\frac{4a}{4b}=\dots$.

Addition

$\frac{a}{b} \; + \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Subtraktion

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Multiplikation

$\frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{c}{d} \; = \; \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

$\frac{a}{b} \; \cdot \; n \; = \; \frac{a \cdot n}{b}$

Division

Beispiel für die Division durch einen Bruch

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} \; = \; \frac{a}{b} \; \cdot \; \frac{d}{c} \; = \; \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Man dividiert also durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches, der als Divisor fungiert, multipliziert. Die Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.

$\frac{a}{b} : n \; = \; \frac{a}{b \cdot n}$

Potenzen

Regel	Beispiel
$\frac{a^n}{b^m} = a^n \cdot b^{-m}$	$\frac{3}{2} = 3 \cdot 2^{-1}$
$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$	$\frac{a^3}{a^2} = a^3 \cdot a^{-2} = a^{3-2} = a$
$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$	$\frac{3^2}{2^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$

Rechnen mit Bruchtermen

Bruchterme, also Rechenausdrücke in der Form von gemeinen Brüchen, spielen in der elementaren Algebra eine wichtige Rolle. Im Allgemeinen enthalten Bruchterme neben Zahlen auch Variablen. Die Rechenregeln für Brüche können auch auf Bruchterme angewendet werden.

Definitionsbereich

Bei der Bestimmung des Definitionsbereiches eines Bruchterms ist zu beachten, dass der Nenner nicht den Wert 0 haben darf. Beispielsweise wäre der von x abhängige Bruchterm $\tfrac{1}{6-2x}$ beim Einsetzen von x = 3 nicht definiert. Der Definitionsbereich ist also $D = \mathbb{R}\setminus\{3\}$, wenn als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen vorausgesetzt wird. In komplizierteren Fällen sollte der Nenner in Faktoren zerlegt werden, damit der Definitionsbereich erkennbar wird.

Beispiel: $\tfrac{x}{x^2-9} = \tfrac{x}{(x+3)(x-3)}$ hat den Definitionsbereich $D = \mathbb{R} \setminus \{-3; +3\}$.

Kürzen

Kürzen bedeutet, dass man Zähler und Nenner durch denselben Rechenausdruck dividiert. Wichtig dabei ist, dass nur Faktoren von Produkten herausgekürzt werden können. Summen und Differenzen im Zähler und im Nenner müssen gegebenenfalls zuerst in Produkte zerlegt werden (Faktorisierung).

Beispiele:

1. $\quad\frac{4abc^3}{6a^2bc} = \frac{2c^2}{3a}$
2. $\quad\frac{x^2-6xy+9y^2}{2x-6y} = \frac{(x-3y)^2}{2(x-3y)} = \frac{x-3y}{2}$

Beim Kürzen eines Bruchterms kann sich der Definitionsbereich ändern! So ist im ersten Beispiel der ungekürzte, links stehende Term nur definiert, wenn $a,b,c\neq 0$ gilt, der rechtsstehende bereits, wenn nur $a\neq 0$ gilt. Im zweiten Beispiel ist der ungekürzte Term nur definiert, wenn $x \neq 3y$ gilt, der gekürzte ist ohne Einschränkungen definiert.

Die Änderung des Definitionsbereiches eines Bruchterms beim Kürzen ist eine der Techniken, mit denen Funktionsterme stetig fortgesetzt werden können.

Addition und Subtraktion

Wie bei Zahlen ist es nötig, die gegebenen Bruchterme gleichnamig zu machen, d.h. auf den gleichen Nenner zu bringen. Man bestimmt einen möglichst einfachen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner), der durch alle gegebenen Nenner teilbar ist.

Beispiel:

$\frac{3}{2a^2} - \frac{4ab-1}{2ab} + 2$

Als Hauptnenner ergibt sich 2a²b. Die Erweiterungsfaktoren der drei gegebenen Bruchterme erhält man dadurch, dass man jeweils den gefundenen Hauptnenner durch den bisherigen Nenner dividiert. Die Erweiterungsfaktoren sind also b, a und 2a²b.

$\frac{3}{2a^2} - \frac{4ab-1}{2ab} + 2$

$= \frac{3 \cdot b - (4ab-1) \cdot a + 2 \cdot 2a^2b}{2a^2b}$

$= \frac{3b-4a^2b+a+4a^2b}{2a^2b} = \frac{3b+a}{2a^2b}$

Häufig lässt sich der Hauptnenner nur erkennen, wenn man die Nenner in Faktoren zerlegt (Faktorisierung). Dabei greift man oft auf die Methode des Ausklammerns zurück oder verwendet binomische Formeln.

Beispiel:

$\frac{x}{x^2-xy} - \frac{y}{x^2+xy} - \frac{x}{x^2-y^2}$

$= \frac{x}{x(x-y)} - \frac{y}{x(x+y)} - \frac{x}{(x+y)(x-y)}$

$= \frac{x \cdot (x+y) - y \cdot (x-y) - x \cdot x}{x(x+y)(x-y)}$

$= \frac{x^2 + xy - xy + y^2 - x^2}{x(x+y)(x-y)} = \frac{y^2}{x(x+y)(x-y)}$

Multiplikation und Division

Beim Multiplizieren von Bruchtermen müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner multipliziert werden. Gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner sollten herausgekürzt werden.

Beispiel: $\frac{4xy}{z^2} \cdot \frac{xz}{6y} = \frac{4x^2yz}{6yz^2} = \frac{2x^2}{3z}$

In komplizierteren Aufgaben sollte man Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen, um sie bereits vor der eigentlichen Multiplikation herauskürzen zu können.

Beispiel: $\frac{a-2b}{4a+1} \cdot \frac{16a^2-1}{a^2-4ab+4b^2} = \frac{a-2b}{4a+1} \cdot \frac{(4a+1)(4a-1)}{(a-2b)^2} = \frac{4a-1}{a-2b}$

Die Division von Bruchtermen lässt sich auf die Multiplikation zurückführen. Man dividiert durch einen Bruchterm, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

Beispiel: $\frac{2x-3}{5x} : \frac{4x^2-9}{10x^2} = \frac{2x-3}{5x} \cdot \frac{10x^2}{(2x+3)(2x-3)} = \frac{2x}{2x+3}$

Weitere Darstellungsformen

Partialbrüche

Brüche kann man oft in sogenannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B.:

$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ,$

$\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ,\,$

$\frac{1}{72} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} ,$

$\frac{1}{60} = \frac{-1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{8}{5}.$

Ägyptische Brüche

Es gibt auch Zerlegungen als sogenannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B.

$\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}$ und

$\frac{25}{31} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{1116}$,

die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet.

Pythagoreische Brüche

Das Zahlentripel $(\tfrac{1}{5},\tfrac{24}{35}, \tfrac{5}{7})$ ist ein Beispiel eines pythagoreischen Bruchs (siehe auch pythagoreisches Tripel), denn

$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{24}{35}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2$.

Rationaler Zähler oder Nenner

Siehe Rationalisierung (Bruchrechnung).

Verallgemeinerungen

Die Konstruktion des Körpers der rationalen Zahlen als Brüche aus dem Ring der ganzen Zahlen wird in der abstrakten Algebra durch das Konzept des Quotientenkörpers auf beliebige Integritätsringe verallgemeinert.

Siehe auch

• Farey-Reihe
• Kreuzweise Multiplikation

Einzelnachweise

1. ↑ Amtliche Rechtschreibregeln vom 1. August 2006, §106, online auf canoo.net

Literatur

• Erhard Cramer, Johanna Nešlehová: Vorkurs Mathematik. Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen. 3., verb. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 9783540781806, S. 77-83. (eingeschränkte Online-Kopie in der Google Buchsuche-USA)
• Friedhelm Padberg: Gemeine Brüche – Dezimalbrüche. Didaktik der Bruchrechnung. BI-Wissenschafts-Verlag, 1989, ISBN 3-411-03207-3.

Weblinks

 Wiktionary: Bruchrechnung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Bruchrechnung In Nachhilfe Videos veranschaulicht
• Rechner für Brüche – diverse Online-Programme rund um die Bruchrechnung