Borel’sche σ-Algebra

Die borelsche σ-Algebra ist ein Begriff aus der Mathematik, der ein Scharnier zwischen den Zweigen Topologie und Maßtheorie bildet. Jeder Topologie lässt sich in eindeutiger Weise eine σ-Algebra zuordnen, die man die zugehörige borelsche σ-Algebra nennt.

Der Begriff ist nach dem Mathematiker Émile Borel benannt.

Definition

Für einen gegebenen topologischen Raum Ω ist die borelsche σ-Algebra definiert als die kleinste σ-Algebra, die die offenen Mengen von Ω enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra heißen Borelmengen.

Bemerkungen

• Eine σ-Algebra auf einer Grundmenge Ω ist eine Menge von Teilmengen, die die Grundmenge enthält und die bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung abgeschlossen ist. Eine Grundmenge zusammen mit einer auf ihr erklärten σ-Algebra heißt auch Messraum.
• Dass genau eine solche kleinste σ-Algebra existiert, wird im Absatz über den σ-Operator gezeigt.
• Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines Messraums auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur heißt der Raum dann auch Borel-Raum.
• In der Literatur hat sich folgende von Hausdorff eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:^[1],[2],[3]

- mit $\operatorname F_\sigma$ werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet,

- mit $\operatorname G_\delta$ - alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen,

- mit $\operatorname F_{\sigma\delta}$ - alle Durchschnitte von abzählbar vielen $\operatorname F_\sigma$-Mengen,

- mit $\operatorname G_{\delta\sigma}$ - alle Vereinigungen von abzählbar vielen $\operatorname G_\delta$-Mengen,

- mit $\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}$ - alle Vereinigungen von abzählbar vielen $\operatorname F_{\sigma\delta}$-Mengen,

- mit $\operatorname G_{\delta\sigma\delta}$ - alle Durchschnitte von abzählbar vielen $\operatorname G_{\delta\sigma}$-Mengen

usw.

Alle $\operatorname F_\sigma$, $\operatorname G_\delta$, $\operatorname F_{\sigma\delta}$, $\operatorname G_{\delta\sigma}$, $\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}$, $\operatorname G_{\delta\sigma\delta}$,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer σ-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.^[4]

• In der deskriptiven Mengenlehre bezeichnet man die offenen Mengen auch als $\Sigma^0_1$-Mengen, die $\operatorname F_\sigma$-Mengen als $\Sigma^0_2$-Mengen, die $\operatorname G_{\delta\sigma}$-Mengen als $\Sigma^0_3$-Mengen, etc. Komplemente von $\Sigma^0_n$-Mengen heißen $\Pi^0_n$-Mengen; so sind etwa die $\Pi^0_2$-Mengen genau die $\operatorname G_\delta$-Mengen.

• Die Klasse der Borelmengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen (oder auch "analytischen") Mengen.^[2]

Beispiele

Die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen

Die Menge $\R$ der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen Intervalle (a,b) mit rationalen Endpunkten aufgespannt wird. Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf $\R$ betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf $\R$, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als die borelsche σ-Algebra auf $\R$ bezeichnet. Sie enthält (aufgrund der Abgeschlossenheit einer σ-Algebra bezüglich der Komplementbildung) außer den offenen auch die abgeschlossenen Intervalle.

Die borelsche σ-Algebra von $\R$ enthält nicht alle Teilmengen von $\R$. In der Maßtheorie zeigt man, dass alle Borelmengen Lebesgue-messbar sind; die umgekehrte Aussage gilt jedoch nicht, es gibt Lebesgue-messbare Mengen die keine Borelmengen sind. Diese Mengen unterscheiden sich jedoch nur um eine Menge vom Lebesgue-Maß 0 von einer Borelmenge.

Es lässt sich sogar darüber hinaus (wieder ohne Verwendung des Auswahlaxioms) eine surjektive Abbildung von den reellen Zahlen auf die Borelmengen angeben; daraus folgt, dass die borelsche σ-Algebra im Sinne der Kardinalzahlen echt kleiner als die Potenzmenge von $\R$ ist. Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man daraus folgern, dass die borelsche σ-Algebra gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen selbst ist.

Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen

Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen $\R^n$ wird die kanonische Topologie von den n-dimensionalen Quadern $(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)$ mit rationalen Koordinaten a_i und b_i aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die n-fache Produkttopologie der kanonischen Topologie auf $\R$. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die borelsche σ-Algebra auf $\R^n$.

Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen $\mathbb C$ und $\R^2$.

Anwendung

Die Menge Ω zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den Borel-Maßen als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet.

Einzelnachweise

1. ↑ Koepke, P., Kanovei V., Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre, 2001, uni-bonn.de (pdf)
2. ↑ ^{a b} Alexandroff P.S., Lehrbuch der Mengenlehre, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1994, ISBN 3-8171-1365-X
3. ↑ Natanson I.P., Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk)
4. ↑ Bei $\R^n$ z.B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten Ordinalzahlen möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die $\operatorname F_\sigma$- und $\operatorname G_\delta$-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.B. in einem T₁-Raum mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in Hausdorffs Mengenlehre (1927) nachgelesen werden.

Literatur

• Sashi Mohan Srivastava: A course on Borels sets. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98412-7