- Betaverteilung
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Die Betaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Intervall [0,1].
Inhaltsverzeichnis
Definition
Betaverteilung auf [0,1]
Die Betaverteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
Außerhalb des Intervalls [0,1] wird sie durch f(x) = 0 fortgesetzt. Sie besitzt die reellen Parameter p und q. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird p,q > 0 gefordert.
Der Vorfaktor 1 / B(p,q) dient der korrekten Normierung. Der Ausdruck
steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet Γ die Gammafunktion.
Die Verteilungsfunktion ist entsprechend
diese Funktion heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.
Betaverteilung auf [a,b]
Die allgemeine Betaverteilung ist definiert zu
wobei a und b die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von B zu
Die weiteren Ausführungen in diesem Artikel beziehen sich nur auf die auf das Intervall [0,1] eingeschränkte Betaverteilung.
Eigenschaften
Extremum
Die Dichtefunktion f nimmt ihr Extremum an der Stelle an.
Erwartungswert
Der Erwartungswert berechnet sich zu
- .
Varianz
Die Varianz ergibt sich zu
- .
Standardabweichung
Für die Standardabweichung ergibt sich
- .
Variationskoeffizient
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten
- .
Schiefe
Die Schiefe ergibt sich zu
- .
Symmetrie
Die Beta-Verteilung ist für p = q symmetrisch um mit der Schiefe .
Beziehungen zu anderen Verteilungen
Beziehung zur F-Verteilung
Wenn F-verteilt und ist, dann verteilt sich
Beziehung zur Gammaverteilung
Wenn die Zufallsvariablen X mit γ(a1,b)und Y mit γ(a2,b) Gamma-verteilt sind mit den Parametern a1,a2 und b, dann ist die Größe Beta-verteilt mit
- .
Beispiel
Die Betaverteilung kann aus zwei Gammaverteilungen erhalten werden: Der Quotient X = U / (U + V) aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen U und V, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und pu bzw. pv, ist betaverteilt mit den Parametern pu und pv. U und V lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit 2pu bzw. 2pv Freiheitsgraden interpretieren.
Mit Hilfe der Linearen Regression wird eine Regressionsgerade y = a + bx durch eine Punktwolke mit n Wertepaaren zweier statistischer Merkmale x und y gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der yi-Werte von der Geraden minimiert wird.
Die totale Streuung von y (TSS) lässt sich mit der Streuungszerlegung zerlegen in die so genannte erklärte Streuung der durch die Gerade geschätzten Werte y* (ESS) und die nichterklärte Streuung der Residuen (RSS):
- TSS = ESS + RSS.
Das Bestimmtheitsmaß, der Anteil der erklärten Streuung an der Gesamtstreuung
beziehungsweise
ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von x und y darstellt, ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt.
Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim Modelltest der Regression durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.
Weblinks
- Universität Konstanz – Interaktive Animation
Diskrete univariate VerteilungenDiskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-MandelbrotDiskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta
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