Bestapproximation

Sei $(X,d)\,$ ein metrischer Raum, $Y\subset X$ eine Teilmenge und $x\in X$ beliebig.

Der Abstand des Elements x zur Teilmenge Y wird definiert als

$dist(x,Y):=\inf_{y\in Y} d(x,y)$

(vgl. hierzu Abstand zweier Mengen)

Existiert nun ein $p\in Y$ mit:

$d(x,p)=dist(x,Y)\,$

so nennt man p Proximum oder Bestapproximation zu x in Y.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Bemerkung: Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum $(X,\|\|)$ zu tun.

Ein Proximum p zu $x\in X$ in $Y\subset X$ ist dann - falls existent - charakterisiert durch die Gleichung

$\|x-p\|=\inf_{y\in Y} \|x-y\|$

Zur Existenz eines Proximums

• Sei $(X,d)\,$ ein metrischer Raum. $A\subset X$ sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in $A\,$.

• Sei $(X,\|\|)$ ein normierter Raum. $V\subset X$ sei ein endlich-dimensionaler Teilraum und $Y\subset V$ abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in $Y\,$.

Proximum im Hilbertraum

Ist X ein Hilbertraum und $Y \subset X, Y$ ein abgeschlossener Untervektorraum, dann ist das Proximum eindeutig, d.h. es existiert zu jedem $x \in X$ genau ein $p \in Y$ mit $\|x-p\| \le \|x-y\|\, \forall y \in Y$