Besselsche Ungleichung

Besselsche Ungleichung

Die besselsche Ungleichung (nach Friedrich Wilhelm Bessel) beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor x eines Hilbertraums mindestens so "lang" ist, wie eine (beliebige) seiner Projektionen auf Unterräume.

Aussage

Ist also H ein Hilbertraum und S \subset H ein Orthonormalsystem, so gilt für alle x\in H die Ungleichung

\sum_{e \in S} \vert \langle x, e\rangle \vert^2 \leq \Vert x \Vert^2

wobei \langle \cdot,\cdot \rangle das Skalarprodukt auf dem Hilbertraum darstellt.

Gilt in der besselschen Ungleichung das Gleichheitszeichen, so heißt sie parsevalsche Gleichung und stellt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume dar.

Literatur

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Bessel'sche Ungleichung — Die besselsche Ungleichung (nach Friedrich Wilhelm Bessel) beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor f eines Hilbertraums mindestens so lang ist, wie eine (beliebige) seiner Projektionen auf Unterräume. Ist also H ein… …   Deutsch Wikipedia

  • Bessel-Ungleichung — Die besselsche Ungleichung (nach Friedrich Wilhelm Bessel) beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor f eines Hilbertraums mindestens so lang ist, wie eine (beliebige) seiner Projektionen auf Unterräume. Ist also H ein… …   Deutsch Wikipedia

  • Bessel — Friedrich Wilhelm Bessel Friedrich Wilhelm Bessel Friedrich Wilhelm Bessel (* 22. Juli 1784 in Minden …   Deutsch Wikipedia

  • Friedrich Bessel — Friedrich Wilhelm Bessel Friedrich Wilhelm Bessel Friedrich Wilhelm Bessel (* 22. Juli 1784 in Minden …   Deutsch Wikipedia

  • Besselsystem — Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und in der von diesem induzierten Norm… …   Deutsch Wikipedia

  • Hilbert-Basis — Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und in der von diesem induzierten Norm… …   Deutsch Wikipedia

  • Parseval-Frame — Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und in der von diesem induzierten Norm… …   Deutsch Wikipedia

  • Riesz-Basis — Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und in der von diesem induzierten Norm… …   Deutsch Wikipedia

  • Rieszbasis — Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und in der von diesem induzierten Norm… …   Deutsch Wikipedia

  • Rieszsystem — Als Hilbertraumbasis wird in der Funktionalanalysis eine Basis eines Hilbertraums bezeichnet. Ein Hilbertraum ist ein (oft unendlichdimensionaler) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist und in der von diesem induzierten Norm… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”