Bessel'sche Ungleichung

Die besselsche Ungleichung (nach Friedrich Wilhelm Bessel) beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor f eines Hilbertraums mindestens so "lang" ist, wie eine (beliebige) seiner Projektionen auf Unterräume.

Ist also H ein Hilbertraum und $\{f_n\}_{n=1}^N$ ein Orthonormalsystem in H. Dann gilt für alle $f\in H$ die Ungleichung

$\Vert f \Vert^2 \geq \sum_{n=1}^N \vert \langle f_n, f \rangle \vert^2$,

wobei $\langle \cdot,\cdot \rangle$ das Skalarprodukt auf dem Hilbertraum darstellt.

Gilt in der besselschen Ungleichung das Gleichheitszeichen, so heißt sie parsevalsche Gleichung und stellt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume dar.