Bernoulliversuch

Bernoulliversuch

Zufallsgrößen mit einer Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen nur zwei mögliche Versuchsausgänge interessieren, das zufällige Ereignis (Erfolg) und sein komplementäres Ereignis (Misserfolg). Beispiele hierfür sind:

  • Werfen einer Münze (Wappen p = 1 / 2, Zahl q = 1 / 2)
  • Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg gewertet wird: p = 1 / 6, q = 5 / 6.
  • Qualitätsprüfung (einwandfrei, nicht einwandfrei)
  • Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht)

Die Bezeichnung Bernoulli-Versuch (Bernoullian trials nach Jakob I. Bernoulli) wurde erstmals 1937 in dem Buch Introduction to Mathematical Probability von James Victor Uspensky[1] verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine diskrete Zufallsgröße X unterliegt der Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter p, wenn sie die folgenden Einzelwahrscheinlichkeiten besitzt.

\operatorname{P}(X=1)=p und \operatorname{P}(X=0)=q=1-p.

Letzteres kann man auch durch den geschlossenen Ausdruck

\operatorname{P}(X) = p^X \cdot q^{1-X}

ersetzen, denn es ist

\operatorname{P}(0) = p^0 \cdot q^{1-0} = q   und   \operatorname{P}(1) = p^1 \cdot q^{1-1} = p

Eine Wiederholung von vielen identischen Versuchen, bei denen jeder Einzelversuch der Bernoulli-Verteilung genügt, wird Bernoullisches Versuchsschema oder Bernoulli-Prozess genannt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter p hat den Erwartungswert:

\operatorname{E}(X)=p

Varianz

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz:

\operatorname{Var}(X) = p(1-p)= pq, denn: \operatorname{E}(X^2)-\operatorname{E}(X)^2=p-p^2 = p\cdot(1-p) = pq.

Verteilungsfunktion

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Verteilungsfunktion:

F_X(t)=\operatorname{P}(X\leq t)
             =\begin{cases} 0,   & \mbox{wenn }t< 0 \\
                            1-p, & \mbox{wenn }0\leq t< 1 \\
                            1,   & \mbox{wenn }1\leq t 
              \end{cases}

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für n = 1. Mit anderen Worten, die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter p genügt der Binomialverteilung. Die Binomialverteilung ist die n-fache Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter p bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit p.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgröße genügt für n\to\infty, p_{n}\to 0 und \lim\limits_{n\to\infty}np_{n}=\lambda>0 einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ.

Einzelnachweise

  1. James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Bernoullikette — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden Artikel gelöscht, die nicht… …   Deutsch Wikipedia

  • Binomial-Verteilung — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden Artikel gelöscht, die nicht… …   Deutsch Wikipedia

  • Poissonscher Grenzwertsatz — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden Artikel gelöscht, die nicht… …   Deutsch Wikipedia

  • Ziehen mit Zurücklegen — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden Artikel gelöscht, die nicht… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”