Bernoullische Energiegleichung

Die bernoullische Energiegleichung, auch Satz von Bernoulli genannt, ist eine wichtige Gleichung in der Strömungslehre, die nach Daniel Bernoulli benannt ist. Sie ist ein Ausdruck des Energieerhaltungssatzes und wird typischerweise so formuliert, dass alle Energieanteile über die Schwerebeschleunigung und die Dichte der Flüssigkeit in Höhen umgerechnet werden. Die Summe der so definierten Geschwindigkeitshöhe und Druckhöhe plus der geodätischen Höhe ist (im reibungsfreien Fall) konstant, gleich der Energiehöhe.

Die Bernoullische Energiegleichung als Höhengleichung

Die Herleitung der Energiegleichung erfolgt über den Energieerhaltungssatz, wobei die gesamte Strömungsenergie, die sich aus Lage-, Druck- und Bewegungsenergie zusammensetzt, betrachtet wird.

Bei der stationären (zeitlich sich nicht verändernden) Bewegung einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit, die nur der Schwerkraft unterworfen ist, gilt für alle Punkte einer Stromlinie, dass die Summe aus Geschwindigkeitshöhe $\frac{c^2}{2 g}$ und Druckhöhe $\frac{p}{\rho g}$ und geodätischer Höhe z konstant ist. Die Geschwindigkeitshöhe kann als Staudruck der Strömung verstanden werden, die Druckhöhe als Maß des Druckes der Flüssigkeit.

$\frac{c^2}{2 g} + \frac{p}{\rho g} + z = \text{const.}$

wobei

c: Strömungsgeschwindigkeit

g: Schwerebeschleunigung,

p: Druck (nur kleines p)

ρ (rho): Dichte

z: Höhe über/unter einer Bezugsebene mit gleicher geodätischer Höhe

Diese Summe wird als Energiehöhe bezeichnet und in Metern angegeben.

Druckgleichung

Multipliziert man die bernoullische Energiegleichung mit ρ und g, erhält man die bernoullische Druckgleichung:^[1]

$p + \rho g z + \frac{\rho }{2} c^2 = \text{const.}$

Aus der bernoullischen Energiegleichung ist ersichtlich, dass zum Beispiel bei einer inkompressiblen Flüssigkeit (ρ = const) eine Geschwindigkeitserhöhung in einer Rohrleitung durch Einengung des Querschnittes zu einer Verminderung des Druckes führen muss, wenn die geodätische Höhe gleich bleibt.

Schema des Druckverlaufs in einer Rohrleitung

Erweiterte bernoullische Energiegleichung

Die erweiterte bernoullische Energiegleichung setzt sich mit zähen Flüssigkeiten auseinander. Dabei werden die Reibungsverluste berücksichtigt. Die so genannte Verlusthöhe H_v wird empirisch meist durch einen Druckverlustbeiwert ζ (Zeta) mit folgender Funktion berechnet:

$H_v = \zeta \frac{c^2}{2 g}$

mit

ζ: Druckverlustbeiwert

c: Geschwindigkeit

g: Schwerebeschleunigung

Diese Annahme fußt auf der empirischen Beobachtung, dass die Druckverluste in Rohrleitungen bei turbulenter Strömung mit dem Quadrat der Fließgeschwindigkeit steigen. Die Verlustbeiwerte oder die Summe der Verlustbeiwerte in einem Gesamtsystem setzen sich zusammen aus:

• Einzelverlusten wie Ein- und Auslaufverlust, Einbautenverlust (Krümmer, Einengungen, Schieber) und
• Verlusten aus der Rohrreibung

Die erweiterte Energiegleichung lautet daher:

$\frac{c^2}{2 g} + \frac{p}{\rho g} + z + \zeta \frac{c^2}{2 g} = \text{const.} = H_0$

Mit dieser Gleichung können bei Kenntnis der Verlustbeiwerte die üblichen Fragen der Bemessung von Rohrleitungssystemen mit turbulenter Strömung gelöst werden.

Für die Berechnung der Energieverluste wäre zwischen Einzelverlusten und Verlusten in geraden Rohren zu unterscheiden.

Einzelverluste

Diese werden nach der Formel

$H_v = \zeta \frac{c^2}{2 g}$

berechnet. Diese Werte für ζ betragen beispielhaft:

Einläufe in Rohrleitungen:

ζ = 0,50 (senkrechter Einlauf, scharfkantig)

ζ = 0,06 bis 0,005 (senkrechter, abgerundeter Einlauf)

oder bei plötzlicher Querschnitterweiterung:

$\zeta = \left(\frac{F_2}{F_1} - 1\right)^2$

oder bei allmählicher Verengung (Winkel der Verengung < 20°):

ζ = 0,04

Verluste in geraden Rohrleitungen

Diese werden nach der Formel

$I = \lambda \frac{c^2}{2 g d}$

I: Energieliniengefälle, das heißt Verlusthöhe je Längeneinheit der Rohrleitung.

λ: Rohrreibungszahl (Verlustbeiwert)

d: Rohrdurchmesser

berechnet. Der Parameter ζ wird nach empirischen Formeln bestimmt, die von der Rauigkeit der Rohrleitung und dem Fließverhalten des Mediums abhängen.

Siehe auch

• Strömung nach Bernoulli und Venturi

Einzelnachweise

1. ↑ Hermann Rietschel, Horst Esdorn, Klaus Fitzner: Raumklimatechnik: Band 1: Grundlagen, Springer, 1994, ISBN 3540544666