Übergangswahrscheinlichkeit


Übergangswahrscheinlichkeit

In der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreiben Übergangswahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeiten, vom Zustand i (in einer Menge Ω) zu einem aktuellen Beobachtungszeitpunkt in bestimmte andere Zustände j (in einer Menge Ω') überzugehen.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall gibt man die Wahrscheinlichkeiten π(x;A) an, mit denen man von einem Zustand x zu einem beliebigen Ereignis A gelangt. Dazu seien  (\Omega, \mathcal A) und  (\Omega', \mathcal A') Messräume. Eine Abbildung  \pi : \Omega \times \mathcal A' \to [0,1] heißt stochastischer Kern oder Markow-Kern von  (\Omega, \mathcal A) nach  (\Omega', \mathcal A') , wenn gilt:

Jedem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf  (\Omega, \mathcal A) ordnet π durch die Zuordnung  A \mapsto \int_\Omega \pi(x; A)P(dx)  ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  (\Omega', \mathcal A') zu.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden die Argumente von π in umgekehrter Reihenfolge geschrieben, π(A;x) oder auch π(A | x), in Anlehnung an bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Diskreter Fall

Im diskreten Fall, wo Ω und Ω' endliche oder abzählbare Mengen sind, genügt es die Wahrscheinlichkeiten πi,j anzugeben, mit denen man vom Zustand i in den Zustand j gelangt. Diese Wahrscheinlichkeiten bilden eine Matrix \pi = (\pi_{i,j})_{i\in\Omega, j\in\Omega'}, die die Eigenschaft hat, dass alle Elemente zwischen 0 und 1 liegen und dass die Zeilensummen  \sum_{j\in\Omega'} \pi_{i,j} den Wert 1 haben. Eine solche Matrix wird als stochastische Matrix bezeichnet. Sie ordnet jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω mit einer Zähldichte \rho=(\rho_i)_{i\in\Omega} eine Zähldichte \rho\pi = (\sum_{i\in\Omega} \rho_i \pi_{i,j})_{j\in\Omega'} in Ω' zu.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden Zeilen und Spalten der Matrix umgekehrt verwendet.

Darstellung als Daniell-stetige Abbildungen und Komposition

Jedem Markow-Kern K von (\Omega,\mathcal A) nach (\Omega,\mathcal A) ist auf dem Raum der numerischen, nichtnegativen Funktionen E * über

(T f) (\omega) := \int f(\omega) K(\omega, d\omega)

eine Abbildung T mit folgenden Eigenschaften zugeordnet:

  1. f \ge 0 \Rightarrow T f \ge 0 für jedes f \in E^* (Positivität),
  2. f_n \uparrow f \Rightarrow T f_n \uparrow f für jede isotone Folge (fn) in E * (Daniell-Stetigkeit, nach Percy John Daniell),
  3. T(f + g) = Tf + Tg (Additivität).

Zu jeder Abbildung T mit diesen Eigenschaften gibt es wiederum genau einen Kern, für den T die so gebildete Abbildung darstellt.

Aus der Komposition dieser Abbildungen T_1 \circ T_2 kann eine Definition Komposition der zugehörigen Kerne hergeleitet werden:

K_1 K_2 (\omega, A) = \int K_1 (\omega, \rm{d}\omega') K_2 (\omega', A).

Spezielle Anwendungen

Sie finden in der Bioinformatik eine breite Anwendung bei der Modellbildung unter Zuhilfenahme von Markow- und Hidden-Markow-Modellen. In der Quantenphysik werden oft Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen quantenmechanischen Zuständen untersucht.

Literatur


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