Äquivalenz von Masse und Energie

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Relativitätstheorie, sechste und letzte Skulptur beim Berliner Walk of Ideas zur FIFA-Fußball-Weltmeisterschaft in Deutschland 2006

Die Äquivalenz von Masse und Energie (oder ganz kurz: E=mc²) ist die Erkenntnis der relativistischen Physik, dass die Energie E_Ruhe jedes ruhenden Teilchens und seine Masse m sich gegenseitig festlegen:

$E_{\text{Ruhe}}=m\, c^2\,.$

Diese einfache Formel hat weitreichende Konsequenzen. So folgt aus ihr, dass die Bindungsenergie eines Systems selbst zur Masse beiträgt. Da die Bindungsenergie stets negativ ist, bedeutet dies, dass das gebundene System weniger Masse hat als die einzelnen aneinander gebundenen Objekte - man spricht hier auch vom Massendefekt. Aus dem unterschiedlichen Massendefekt verschiedener Atomarten stammt die Energie bei Kernspaltung und Kernfusion. Hier wird also direkt Masse in Energie umgesetzt.

Noch deutlicher wird dies bei einem anderen Prozess: Der Annihilation von Teilchen und Antiteilchen. Hier wird die gesamte Masse der Teilchen in Strahlungsenergie umgesetzt, die ursprünglichen Teilchen existieren anschließend nicht mehr. Wenn nicht Erhaltungsgrößen wie elektrische Ladung oder Baryonenzahl es verhindern, können Teilchen in andere Teilchen mit geringeren Massen übergehen und die dabei freiwerdende Ruheenergie in andere Energieformen wie Strahlung und kinetische Energie anderer Teilchen umgewandelt werden.

Geschichte

→ Hauptartikel: Elektromagnetische Masse und Geschichte der speziellen Relativitätstheorie

Der Zusammenhang zwischen Masse, Energie, und Lichtgeschwindigkeit wurde bereits ab 1880 von unterschiedlichen Autoren im Rahmen von Maxwells Elektrodynamik bedacht.^{[1][2][3][4][5]}

Joseph John Thomson (1881), George Searle (1897), Wilhelm Wien (1900), Max Abraham (1902) und Hendrik Lorentz (1904) erschlossen, dass die elektromagnetische Energie dem Körper eine „elektromagnetische Masse" hinzufügt gemäß der Formel (in moderner Notation)

$m_{\text{em}} = \frac{4}{3} \frac{E_{\text{em}}}{c^2}$.

Zu derselben Formel gelangte Friedrich Hasenöhrl (1904/5) durch Betrachtung der elektromagnetischen Hohlraumstrahlung eines Körpers, wobei er auch die Abhängigkeit der Masse von der Temperatur feststellte. Henri Poincaré (1900) hingegen folgerte aus Betrachtungen zum Reaktionsprinzip, dass elektromagnetische Energie einer „fiktiven“ Masse von

$m_{\text{em}} = \frac{E_{\text{em}}}{c^2}$

entspricht. Die elektromagnetische Masse wurde häufig auch als „scheinbare“ Masse bezeichnet, da man diese vorerst von der „wahren“, mechanischen Masse Newtons unterschied. Aber es wurden von Wien und Abraham schon Versuche unternommen, der gesamten Masse einen elektromagnetischen Ursprung zuzuschreiben. ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]}

Aber erst Albert Einstein (1905) war es dann, der die gesamte Ruheenergie durch

$E_{\text{Ruhe}} = m\,c^2$

mit der gesamten Masse in eine Beziehung setzte, die in eine umfassende Theorie, die Spezielle Relativitätstheorie, eingebettet war. Dabei ergab sich, dass alle vorhergehenden Spekulationen über die elektromagnetische Natur der Masse in eine falsche Richtung wiesen, denn in der Speziellen Relativitätstheorie gilt ausnahmslos die Äquivalenz von Masse und Ruheenergie, unabhängig davon, ob die Masse elektromagnetischen Ursprungs ist oder nicht. Wichtige Beiträge leisteten u. a. auch Max Planck (1907), der thermodynamische Überlegungen und das Prinzip der kleinsten Wirkung einbrachte; und Max von Laue (1911), der unter Weiterentwicklung von Hermann Minkowskis elegantem Raumzeitformalismus die Äquivalenz besonders klar darstellen konnte. ^{[14] [15] [16]}

Diese Äquivalenz wurde ursprünglich auch „Trägheit der Energie“ genannt, da man jeder Form von Energie eine träge Masse $E/c^2\,,$ die relativistische Masse, zuschrieb. Solch ein Wortgebrauch ist jedoch, wie im Abschnitt relativistische Masse besprochen, irreführend, denn die Trägheit eines schnell bewegten Teilchens hängt von seiner Bewegungsrichtung ab.

Die quantitative Übereinstimmung von Kernmassenunterschieden und Bindungsenergien konnte ab den 1930er Jahren gemessen werden.^[17][18] Heute ist die Gültigkeit der Äquivalenz von Masse und Energie experimentell mit einer Genauigkeit von etwa einem Zehnmillonstel bestätigt:^[19]

$\left|\frac{m\,c^2}{E_{\text{Ruhe}}}-1\right| \le (1{,}4 \pm 4{,}4) \cdot 10^{-7}$

Einsteins Herleitung

Einstein kam 1905 ^[14] durch das folgende Gedankenexperiment auf den Zusammenhang von Masse und Energie. Ein ähnliches Gedankenexperiment hatte Poincaré 1900 bedacht, aber nicht befriedigend klären können.^[8]

Um die folgenden Überlegungen einfach zu halten, benutzen wir als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurücklegt, und nennen diese Länge eine Sekunde. In solchen Maßeinheiten ist die Lichtgeschwindigkeit eine Sekunde pro Sekunde, $c=1\,.$

Aus der Elektrodynamik war bekannt, dass ein Lichtpuls nicht nur Energie E besitzt, sondern auch Impuls $\mathbf p$ in Richtung des Lichtstrahls. In Maßeinheiten mit c = 1 ist der Betrag des Impulses gleich der Energie

$E = |\mathbf p|\,.$

Wenn nun ein ruhender Körper mit Energie $\mathcal{E}$ und der Masse m zwei Photonen mit Energie E in entgegengesetzte Richtung ausstrahlt, so vermindert sich wegen der Erhaltung von Energie und Impuls seine Energie um 2E, er bleibt aber in Ruhe und sein Impuls ist auch nachher gleich Null, weil die Impulse der Photonen entgegengesetzt gleich sind. Fassen wir die beteiligten Energien und Impulse übersichtlich in Spalten zusammen, so lautet die Energie-Impuls-Bilanz vor und nach dem Abstrahlen der Photonen

$\begin{align} \begin{pmatrix} \text{Energie}\\ \text{Impuls} \end{pmatrix}_{\text{vorher}} &= \begin{pmatrix} \mathcal E\\ 0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \text{Energie}\\ \text{Impuls} \end{pmatrix}_{\text{nachher}}\\ &= \begin{pmatrix} \mathcal E-2E \\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} E\\ E \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} E\\ -E \end{pmatrix}. \end{align}$

Aus der Sicht eines in Richtung eines der beiden Photonen bewegten Beobachters bewegt sich der Körper vor und nach dem Abstrahlen der Photonen mit einer Geschwindigkeit v. Vor dem Abstrahlen hat dieser Körper die Energie

$\mathcal E+\frac 12mv^2$

(die Summe von Ruheenergie und kinetischer Energie) und einen Impuls $\,p = m v$, zumindest wenn die Geschwindigkeit $\,v$ so klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist, dass Newtons Mechanik zutrifft.

Das Photon, das der Beobachter mit dem Körper auf sich zukommen sieht, sieht er blauverschoben mit einer um den Dopplerfaktor $\,1+v$ vergrößerten Energie und entsprechend vergrößertem Impuls.

Das Photon in Gegenrichtung ist für ihn rotverschoben und hat eine um den Dopplerfaktor $\,1-v$ verminderte Energie und entsprechend verkleinerten Betrag des Impulses. Diese Gleichungen gelten wie Newtons Mechanik für kleine Geschwindigkeiten. Die Energie-Impuls-Bilanz für ein langsam bewegtes Teilchen vor und nach dem Aussenden der Photonen lautet also

$\begin{pmatrix} \mathcal E+\frac 12 mv^2\\ mv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathcal E'+\frac 12 m'v^2\\ m'v \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} (1+v)E\\ (1+v)E \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (1-v)E\\ -(1-v)E \end{pmatrix}.$

Dabei bezeichnet m' die Masse und

$\mathcal E'+\frac 12 m'v^2$

die Energie des Körpers nach dem Abstrahlen. Die erste Zeile dieser Gleichung, die Energie-Erhaltung, besagt, wenn wir Terme vernachlässigen, die quadratisch in der Geschwindigkeit sind,

$\mathcal E' -\mathcal E = - 2 E,$

dass sich die Ruheenergie des Körpers beim Abstrahlen um 2E vermindert hat. In der zweiten Zeile besagt Impulserhaltung $\,mv = m'v + 2vE$, dass sich die Masse ebenso vermindert hat,

$m'-m = -2E = \mathcal E' -\mathcal E.$

Da sich (bis auf die einfachheitshalber weggelassenen Faktoren c) die Masse so wie die Ruheenergie ändert, ist sie die Ruheenergie

$\,E_{\text{Ruhe}}= m\,c^2\,.$

So schön Einsteins Gedankenexperiment ist, die Folgerung ist nicht zwingend: Kein stabiles Teilchen, kein Elektron, Proton oder Neutron, kann in Ruhe Photonen abstrahlen. Das ist physikalisch nur möglich, wenn man auf das Teilchen die dazu erforderliche Energie und den erforderlichen Impuls überträgt.

Es gibt aber auch einen logischen Einwand. Einsteins Überlegung zeigt nur, dass die Differenzen von Masse und Energie bis auf den Faktor c² gleich sind. Das wäre auch der Fall, wenn zur Ruheenergie eine für jedes Teilchen charakteristische, von der Masse unabhängige Energie beitrüge,

$\,E_{\text{Ruhe}}= m\,c^2 + E_{\text{charakteristisch}}\,.$

Dass der Zusatzterm (der letzte Term in der vorigen Gleichung) verschwindet, und wie die Energie und der Impuls von der Geschwindigkeit abhängen, ergibt sich aus ihrem Transformationsverhalten (siehe Viererimpuls).

E = mc² und die Atombombe

Bei ionisierender Strahlung hatten Antoine Becquerel, Marie und Pierre Curie, und Ernest Rutherford ab 1897 beobachtet, dass Kernreaktionen millionenfach energiereicher sind als chemische Reaktionen. Als Energiequelle wurde von Rutherford und Frederick Soddy (1903) ein in den Körpern befindliches, enormes Reservoir an latenter Energie vermutet, welches auch in normaler Materie vorhanden sein müsse. Rutherford (1904) spekulierte, dass man vielleicht eines Tages den Zerfall radioaktiver Elemente kontrollieren und aus einer geringen Menge Materie eine enorme Energiemenge freisetzen könnte. ^[20][21] Mit Einsteins Gleichung $E_{\text{Ruhe}}=m\,c^2$ (1905) konnte man diese Energie an den unterschiedlichen Kernmassen ablesen, was in den 1930er Jahren tatsächlich nachgewiesen werden konnte.

Allerdings besagt die Gleichung nicht, wie man die Spaltung schwerer Atomkerne in Gang setzt. Entscheidend war die Beobachtung der induzierten Kernspaltung durch Otto Hahn und Fritz Straßmann und dass die dabei freiwerdenden Neutronen eine Kettenreaktion in angereichertem Uran auslösen können. Anders als populärwissenschaftliche Berichte behaupten^[22] spielte daher der Zusammenhang von Ruheenergie und Masse bei der Entwicklung der Atombombe Anfang der 1940er Jahre keine besondere Rolle.^[23] Albert Einstein beeinflusste die Entwicklung der Atombombe weniger durch seine physikalischen Erkenntnisse, sondern allenfalls politisch, nämlich durch seinen Brief an Präsident Roosevelt, in dem er für die Entwicklung der Atombombe durch die Amerikaner eintrat.

Erläuterung

Bei einem ruhenden Teilchen sind Masse und Energie äquivalent, das heißt, bis auf einen konstanten Faktor gleich. Aber allgemeiner, bei bewegten Teilchen, bezeichnen Masse und Energie Größen, die sich in mehr als nur in einem konstanten Faktor unterscheiden.

Wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht, wächst die Energie über alle Grenzen.

Energie

Die Energie $E(\mathbf{v})$ eines Teilchens der Masse m > 0 , das sich mit Geschwindigkeit $\mathbf{v}$, $|\mathbf{v}|<c$ , bewegt, ist eine Funktion der Geschwindigkeit:

$\ E(\mathbf{v})= \frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2}{c^2}}}$

und bezeichnet eine Erhaltungsgröße. Dabei sind die Bezeichnungen „ruhend“ und „Geschwindigkeit $\mathbf v$“ wohldefiniert: sie beziehen sich beispielsweise auf ein mit dem Teilchen mitbewegtes Koordinatensystem. Relativ zu diesen Koordinaten ruht das Teilchen. ^[24] In Stößen und anderen Teilchenreaktionen stimmt die Summe der anfänglichen Energien mit der Summe der späteren Energien überein. Weil unendlich viel Energie dazu erforderlich wäre, können Teilchen mit positiver Masse die Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen oder überschreiten.

Ruhemasse

Die hier auftretende Masse m hat einen festen, für das Teilchen charakteristischen, positiven Wert. Sie wurde historisch Ruhemasse genannt. Die Energie und der Impuls eines Teilchens hängen stets durch die Energie-Impuls-Beziehung (siehe unten) mit der Masse zusammen. Die Ruhemasse eines Teilchens ist diejenige Masse, die ein relativ zu diesem ruhender Beobachter misst.

Klassische Näherung

Zerfällt ein Atomkern, ist die Summe der Massen der Tochterteilchen kleiner als die Masse des Ausgangsteilchens. Die Summe der Energien der Zerfallsprodukte stimmt hingegen mit der Energie des Ausgangsteilchens überein.

Auch mit wachsender Energie bleibt das Elektron langsamer als Licht.

Für kleine Geschwindigkeiten, $v \ll c\,,$ wie sie alltäglich auftreten, ist die Energie näherungsweise

$E(\mathbf{v})\approx m\,c^2 + \frac{1}{2}\,m \,\mathbf{v}^2$

so wie in Newtons Mechanik,

$E_{\text{Newton}}= E_0 + \frac{1}{2}\,m \,\mathbf{v}^2\,.$

Allerdings hat dort die Energie E₀ eines ruhenden Teilchens keinen Zusammenhang zu seiner Masse. Sie könnte irgendeinen, für jedes Teilchen charakteristischen Wert haben. Daher sind in Newtons Mechanik Zerfälle von schweren Teilchen in leichte genauso denkbar wie umgekehrt.

Bei höheren Geschwindigkeiten zeigen Messungen, dass die Energie E_Newton keine Erhaltungsgröße ist: Nur die Summe der relativistischen Energien aller einlaufenden Teilchen stimmt bei Stößen und anderen Teilchenreaktionen mit der Summe der relativistischen Energien der auslaufenden Teilchen überein.

Relativistische Masse

Die sog. relativistische Masse ist das Produkt Lorentzfaktor γ mal Ruhemasse m .

Ordnet man der Energie des Teilchens, das sich mit der Geschwindigkeit $\mathbf v$ bewegt, durch

$E(\mathbf v) =M_{\text{relativistisch}}\, c^2$

rechnerisch eine Masse zu, so hängt das Ergebnis von der Geschwindigkeit ab. Es heißt relativistische Masse

$M_{\text{relativistisch}}(\mathbf v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2}{c^2}}}$ ^[25].

Mit der relativistischen Masse als „Masse“ schreibt sich der relativistische Impuls wie in Newtons Mechanik als „Masse“ mal Geschwindigkeit ^[26]  und es gilt die oben angegebene Beziehung $E(\mathbf v)=M_{\text{relativistisch}}(\mathbf v)\, c^2$, die ebenfalls oft zu „ E=mc² “ verkürzt wird, obwohl dies für $\mathbf v\ne 0$ wegen der fehlerhaften Benennung der relativistischen Masse zumindest unpräzise ist.

In manchen Darstellungen der relativistischen Physik wird in der Tat die relativistische Masse kurz „Masse“ genannt. Dies verleitet zu Fehlvorstellungen, man könne die relativistische Masse so wie eine ruhende Masse mit einer Waage im Gravitationsfeld messen oder wie eine langsam bewegte Masse durch ihre Trägheit aus Newtons Bewegungsgleichungen ablesen; die Gravitationskraft, mit der ein bewegtes Teilchen ein anderes anzieht, sei proportional zur relativistischen Masse; und bei hoher Geschwindigkeit würden Teilchen wegen ihrer großen relativistischen Massen Schwarze Löcher erzeugen.

Darüber hinaus stimmen in der Relativitätstheorie die Richtung von Kraft und Beschleunigung gewöhnlich nicht mehr überein. Wird nun beispielsweise die Masse gemäß der newtonschen Definition F = ma bestimmt, ergibt sich, dass diese sogar richtungsabhängig wird:^[27]

$f_{x}=m\gamma^{3}a_{x},\ f_{y}=m\gamma a_{y},\ f_{z}=m\gamma a_{z},$

wobei m_L = mγ³ und m_T = mγ als „longitudinale und transversale“ Masse bezeichnet wurden.

Der Begriff der relativistischen Masse wird deshalb in der modernen Physik gemieden, um ohne Wortzusätze von verschiedenen Begriffen mit verschiedenen Wörtern zu reden. Auch Einstein erschien es nicht gut, von M_{relativistisch} als Masse zu sprechen, man bezeichne mit diesem Wort besser die Ruhemasse.^[28]

Das Wort Masse (Ruhemasse!) bezeichnet wie in Newtons Physik eine für das Teilchen charakteristische Größe, die nicht von der Geschwindigkeit und dem Beobachter abhängt. Die Energie dagegen ist wie in Newtons Physik geschwindigkeitsabhängig und für verschieden bewegte Beobachter verschieden. Insbesondere hat die Energie bei allen Vorgängen den unveränderten Wert, den sie zu Beginn hatte: sie ist eine additive Erhaltungsgröße. Die Masse hingegen kann bei Teilchenzerfällen abnehmen.

Massenschale

Da der Impuls eines Teilchens der (Ruhe-)Masse m, das sich mit Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ bewegt, in relativistischer Physik

$\mathbf{p}(\mathbf{v})=\frac{m\,\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2}{c^2}}}$

beträgt (Herleitung siehe Viererimpuls), hängen die Energie und der Impuls mit der Masse durch die Energie-Impuls-Beziehung

$E^2-\mathbf{p}^2\,c^2 = m^2\,c^4$

zusammen. Im vierdimensionalen Raum aller denkbaren Energie- und Impulswerte liegen gemäß dieser Gleichung die physikalisch möglichen Energien eines Teilchens der Masse m auf einer dreidimensionalen Fläche, der sogenannten Massenschale. Sie ist ein Hyperboloid (y² − x² = 1 beschreibt eine Hyperbel in der x-y-Ebene).

Die Energie-Impuls-Beziehung gilt auch für Photonen. Sie sind masselos und bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit. Die Energie eines Photons ist bis auf einen Faktor c der Betrag seines Impulses, seine Masse verschwindet,

$E_{\text{Photon}}= c\,|\mathbf{p}_{\text{Photon}}|\,,\,m_{\text{Photon}}=0\,.$

Invariante Masse mehrerer Teilchen

Addiert man bei Teilchenstößen und Teilchenumwandlungen jeweils die Energien bzw. die Impulse der Teilchen, die anfänglich vorhanden sind, dann definieren die Energie und der Impuls durch die Energie-Impuls-Beziehung eine Masse, die invariante Masse $m_{\text{invariant}}\,$ der anfänglichen Teilchen

$m_{\text{invariant}}^2\,c^4 = \left(\sum_i\sqrt{m_i^2\,c^4+\mathbf p_i^2\,c^2}\right)^2 -\left(\sum_i \mathbf p_i\right)^2\,c^2\,.$

Es handelt sich also um eine Mehrteilcheneigenschaft. Sie ist eine Funktion der erhaltenen Energie und des erhaltenen Impulses und demnach selbst eine Erhaltungsgröße^[29]. Sie stimmt also mit der analog berechneten invarianten Masse der Teilchen überein, die später nach einer Wechselwirkung auslaufen.

Die invariante Masse ist jedoch keine additive Erhaltungsgröße: Die invariante Masse mehrerer Teilchen ist größer als die Summe der einzelnen invarianten Massen. Mit c² multipliziert hat die invariante Masse die Bedeutung der Energie der einlaufenden Teilchen in ihrem Schwerpunktsystem. Sie schränkt denkbare Teilchenreaktionen ein: Es können nur solche Teilchen entstehen, deren summierte Massen kleiner als die invariante Masse der Ausgangsteilchen sind. Die Werte der invarianten Masse von Zwei- oder Mehrteilchensystemen sind, anders als die diskreten Massen elementarer Teilchen, kontinuierlich. Findet man bei Zusammenfassung der Energien und Impulse einer Untergruppe von auslaufenden Teilchen immer wieder denselben Wert der invarianten Masse, so weist dies darauf hin, dass es sich um die Zerfallsprodukte eines Teilchens dieser Masse handelt.

Beispiele und Zahlenwerte

Der Massenunterschied ist für die meisten Systeme so gering, dass man ihn nicht messen kann.^[30]  Beispielsweise hat ein Wasserstoff-Atom gegenüber einem freien Elektron und einem freien Proton nur ca. 1/70 000 000 weniger Masse. Für Atomkerne ist der Beitrag jedoch recht groß: Beispielsweise rund 0,8% bei Kohlenstoff-12.

Des Weiteren führt die Äquivalenz von Masse und Energie dazu, dass die Sonne allein durch ihr abgestrahltes Licht (Leuchtkraft ca. 3,8·10²⁶ W) in jeder Sekunde rund 4 Millionen Tonnen Masse verliert (das sind 4·10⁹ kg). Verglichen mit der Sonnenmasse von rund 2·10³⁰ kg ist dieser Anteil jedoch soweit vernachlässigbar, dass wir trotz dieser ständigen Energieabstrahlung, der wir unser Leben verdanken, mit einer mehrere Milliarden Jahre langen Lebensdauer des Gestirns rechnen können.

Da die Lichtgeschwindigkeit um ein Vielfaches größer ist als Geschwindigkeiten in unserer alltäglichen Umgebung, übersteigt die an der Masse ablesbare Ruheenergie die kinetische Energie in alltäglichen Situationen um viele Größenordnungen. Zwar lässt die in Wärme umgewandelte kinetische Energie eine Raumkapsel bei der Rückkehr verglühen, wenn sie nicht abgeschirmt wird, dabei ist aber die kinetische Energie nur ein winziger Bruchteil, ein halbes Milliardstel, der Ruheenergie,

$\frac{\frac{1}{2}\,m\, v^2\,}{m\, c^2\,}=\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2\approx \frac{1}{2}\left(\frac{10\;\text{km/s}}{300\,000\;\text{km/s}}\right)^2 \approx 0{,}000\,000\,000\,5.$

Sonstiges

• 1980 erschien das Lied "E=mc²" von Giorgio Moroder.

Siehe auch

• Photonenwaage
• Vierervektor
• Masse (Physik)

Weblinks

 Commons: Einstein-Formel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• E=mc² – Eine Formel und ihre Geschichte Populäre Erklärung der Formel mit Grafiken
• Cornelius C. Noack, Was ist eigentlich eine 'Ruhemasse'?
• Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie
• Wikibooks: Ruhemasse und relativistische Masse
• Eintrag, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• Das Gesetz von der Aequivalenz von Masse und Energie (E=mc²) Albert Einstein 1946, Einstein Archives Online

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Whittaker, E. T.: 2. Edition: A History of the theories of aether and electricity, vol. 1: The classical theories / vol. 2: The modern theories 1900-1926. Nelson, London 1951-1953.
2. ↑ Jannsen, M., Mecklenburg, M.: From classical to relativistic mechanics: Electromagnetic models of the electron. In: V. F. Hendricks, et.al. (Hrsg.): Interactions: Mathematics, Physics and Philosophy. Springer, Dordrecht 2007, S. 65–134.
3. ↑ Born, Max: Die Relativitätstheorie Einsteins. Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1964/2003, ISBN 3-540-00470-x.
4. ↑ Jammer, Max: Der Begriff der Masse in der Physik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964, englisches Original: Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. Cambridge (Mass): Harvard U.P., 1961 New York: Harper, 1964 New York: Dover, 1997. ISBN 0-486-29998-8
5. ↑ Darrigol, O.: The Genesis of the theory of relativity. In: Séminaire Poincaré. 1, 2005, S. 1-22.
6. ↑ Thomson, Joseph John: On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies. In: Philosophical Magazine. 11, Nr. 68, 1881, S. 229-249.
7. ↑ Searle, George Frederick Charles: On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid. In: Philosophical Magazine. 44, Nr. 269, 1897, S. 329–341.
8. ↑ ^{a b} Poincaré, Henri: La théorie de Lorentz et le principe de réaction. In: Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles. 5, 1900, S. 252–278.
9. ↑ Wien, Wilhelm: Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik. In: Annalen der Physik. 310, Nr. 7, 1900, S. 501–513.
10. ↑ Abraham, Max: Prinzipien der Dynamik des Elektrons. In: Physikalische Zeitschrift. 4, Nr. 1b, 1902, S. 57–62.
11. ↑ Lorentz, Hendrik Antoon: Elektromagnetische Erscheinungen in einem System, das sich mit beliebiger, die des Lichtes nicht erreichender Geschwindigkeit bewegt. In: Blumenthal, Otto & Sommerfeld, Arnold (Hrsg.): Das Relativitätsprinzip. Eine Sammlung von Abhandlungen, S. 6-26 1904/1913
12. ↑ Hasenöhrl, Friedrich: Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. In: Annalen der Physik. 320, Nr. 12, 1904, S. 344–370.
13. ↑ Hasenöhrl, Friedrich: Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung. In: Annalen der Physik. 321, Nr. 3, 1905, S. 589–592.
14. ↑ ^{a b} Einstein, Albert: Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?. In: Annalen der Physik. 323, Nr. 13, 1905, S. 639–643.
15. ↑ Planck, Max: Zur Dynamik bewegter Systeme. In: Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin. Erster Halbband, Nr. 29, 1907, S. 542-570.
16. ↑ Laue, Max von: Das Relativitätsprinzip. Braunschweig: Vieweg 1911
17. ↑ R. Stuewer, Mass-Energy and and the Neutron in the Early Thirties, in Einstein in Context: A Special Issue of Science in Context, Science in Context, Vol 6 (1993), S. 195 ff. Auszug in Google-books
18. ↑ K. T. Bainbridge, The Equivalence of Mass and Energy, Phys. Rev. 44 (1933), S. 123 - 123.
19. ↑ S. Rainville et al., A direct test of E=mc², Nature 438 (2005), S. 1096-1097. Abstract
20. ↑ Ernest Rutherford: Radioactivity, S. 336-338, Cambridge: University Press 1904
21. ↑ Werner Heisenberg: Physics And Philosophy: The Revolution In Modern Science, S. 118-119, New York: Harper & Brothers 1958
22. ↑ Titelbild von Time Magazine Juli 1946
23. ↑ Markus Pössel, Albert-Einstein-Institut: Von E=mc² zur Atombombe und Ist das Ganze die Summe seiner Teile?
24. ↑ Man beachte, dass die Tatsache der Erhaltung nicht vom Bewegungszustand des benutzten Systems abhängt. Trotzdem ist E(v) im Gegensatz zu mc² kein Skalar, mathematisch gesprochen, sondern (wie im Folgenden dargestellt) die zeitliche Komponente eines Vierervektors, des Energie-Impuls-Vierervektors.).
25. ↑ Um zu betonen, dass die Masse m im Gegensatz zur sog. relativistischen Masse invariante Bedeutung hat - erstere ist ein Viererskalar, während letztere nur durch die sog. Eigenzeit ins Spiel kommt, nämlich bei Division durch die invariante Größe dτ≡dt (1-[v/c]²)^1/2, schreibt man für m überwiegend in älteren Darstellungen m₀ und beachtet das Folgende: Die Beziehung für den relativistischen Impuls (Viererimpuls) ist nicht p⁽⁴⁾≡m (dx⁽⁴⁾ /dt), sondern p⁽⁴⁾≡m dx⁽⁴⁾/dτ . Nur durch diesen subtilen Unterschied, .../dτ und nicht .../dt, kommt der Wurzelfaktor ins Spiel.
26. ↑ wobei bei Benutzung der „relativistischen Masse“ die Geschwindigkeit nicht durch Division mit der Eigenzeit dτ , sondern wie in der nicht-relativistischen Mechanik nur durch Division mit dt berechnet wird.
27. ↑ Relativity FAQ: What is the relativistic version of F = ma?
28. ↑ Einstein schrieb in einem Brief an Lincoln Barnett, 19. Juni 1948: "Es ist nicht gut, von der Masse $M=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ eines bewegten Körpers zu sprechen, da von M keine klare Definition gegeben werden kann. Man beschränkt sich besser auf die "Ruhe-Masse" m. Daneben kann man ja den Ausdruck für momentum und Energie geben, wenn man das Trägheitsverhalten rasch bewegter Körper angeben will."> Entnommen von Lev B. Okun: The Concept of Mass. (PDF, ca. 10MB) In: Physics Today. 42, Nr. 6, June 1989, S. 31–36.
29. ↑ Mathematisch gilt, dass $m_{\,\text{invariant}}$ - im Gegensatz zu dem, was oben über die Erhaltungsgröße E( v) gesagt wird - ein Viererskalar ist.
30. ↑ In Spezialfällen gelingt die Messung doch, z. B. mit dem Mößbauer-Effekt.