- Zweistellige Verknüpfung
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Eine zweistellige Verknüpfung (auch binäre Verknüpfung genannt) ist in der Mathematik eine Verknüpfung, die genau zwei Operanden besitzt. Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der Algebra sehr häufig auf und man spricht dort abkürzend auch von Verknüpfung ohne den Zusatz zweistellig. Es gibt aber auch Verknüpfungen mit anderer Stelligkeit, die zum Beispiel drei oder mehr Operanden miteinander verknüpfen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung
vom kartesischen Produkt zweier Mengen A und B nach einer dritten Menge C. Anders gesagt, eine solche Verknüpfung f ordnet jedem Paar von Elementen
und
ein Element c = f(a,b) in C zu: das Ergebnis der Verknüpfung.
Schreibweisen
Zweistellige Verknüpfungen f schreibt man oft in Infixnotation
anstelle der gewöhnlichen Präfixnotation f(a,b). Zum Beispiel schreibt man eine Addition als a + b anstelle von + (a,b). Eine Multiplikation
wird oft ganz ohne Symbol geschrieben, also
. Die bekannteste Postfixnotation ist die umgekehrte Polnische Notation, die ohne Klammern auskommt. Die gewählte Schreibweise, ob Präfix, Infix, oder Postfix, richtet sich im Wesentlichen nach der Nützlichkeit im gegebenen Kontext und den jeweiligen Traditionen.
Beispiele
- Die Grundrechenarten (Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division) auf entsprechenden Mengen von Zahlen sind zweistellige Verknüpfungen. Zum Beispiel entsteht durch die Division einer ganzen Zahl
durch eine natürliche Zahl
eine rationale Zahl c = a / b. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung
.
- Die Komposition von Abbildungen ist eine zweistellige Verknüpfung: Sie ordnet jeder Abbildung
und jeder Abbildung
ihre Hintereinanderausführung
zu. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung
. Hierbei können die Mengen X, Y und Z beliebig gewählt werden. Diese Verknüpfung tritt in fast allen Gebieten der Mathematik auf und liegt der Kategorientheorie zugrunde.
Innere zweistellige Verknüpfung
Eine innere zweistellige Verknüpfung oder zweistellige Operation auf einer Menge A ist eine zweistellige Verknüpfung
, die also jedem geordneten Paar aus A ein Element von A zuordnet. Dies entspricht der obigen allgemeinen Definition im Spezialfall A = B = C. Das zusätzliche Attribut innere drückt aus, dass alle Operanden aus der Menge A sind und die Verknüpfung nicht aus A hinausführt. Man sagt dazu auch, A ist abgeschlossen bezüglich f.
Innere zweistellige Verknüpfungen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen und anderen Strukturen.
Ganz allgemein nennt man eine Menge A mit einer beliebigen inneren Verknüpfung
auch Magma. Oft haben solche Verknüpfungen noch weitere Eigenschaften, zum Beispiel sind sie assoziativ oder kommutativ. Viele haben auch ein neutrales Element und invertierbare Elemente.
Beispiele
- Die Addition und die Multiplikation ganzer Zahlen sind innere Verknüpfungen
bzw.
. Dasselbe gilt für die natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen.
- Die Subtraktion ganzer Zahlen ist eine innere Verknüpfung
. Dasselbe gilt für die rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Man beachte jedoch, dass die Subtraktion natürlicher Zahlen
aus der Menge der natürlichen Zahlen hinausführt und demnach keine innere Verknüpfung ist. (Hier ist z.B.
).
- Die Division rationaler Zahlen ohne 0 ist eine innere Verknüpfung
. Gleiches gilt für die reellen und komplexen Zahlen jeweils ohne 0. Man beachte jedoch, dass die Division ganzer Zahlen
aus der Menge der ganzen Zahlen hinausführt und demnach keine innere Verknüpfung ist. (Hier ist z.B.
).
- Für eine gegebene Menge M sind die Durchschnittsbildung
und die Vereinigung
von Teilmengen
innere Verknüpfungen auf der Potenzmenge
.
- Für jede Menge X ist die Komposition
von Abbildungen
eine innere Verknüpfung auf Abb(X,X).
Äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art
Eine äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art ist eine zweistellige Verknüpfung
, die man Linksoperation von O auf A nennt, bzw.
, die man Rechtsoperation von O auf A nennt. Sie unterscheiden sich von inneren zweistelligen Verknüpfungen dadurch, dass die als Operatorenbereich bezeichnete Menge O (welche die Operatoren beinhaltet) nicht notwendigerweise eine Teilmenge von A ist, von außerhalb kommt. Man sagt dann O operiert von links bzw. von rechts auf A, und die Elemente von O heißen Links- bzw. Rechtsoperatoren.
Bei multiplikativer Schreibweise schreibt man statt
bzw.
auch kurz oa bzw. ao; man spricht dann von der Operatorenschreibweise. Durch jeden Operator
ist genau eine Abbildung
bzw.
definiert, die auch die Transformation zu o genannt wird. Zwischen dem Operator o und der zugehörigen Transformation τof bzw. τfo wird dabei in der Regel nicht unterschieden.
Beispiele
- Bei einer Gruppenoperation
ist G eine Gruppe und X eine Menge. Man fordert zusätzlich eine gewisse Verträglichkeit dieser Operation mit der Gruppenstruktur
, nämlich
und
für alle
und
.
- Bei der Skalarmultiplikation
in der linearen Algebra ist der Operatorenbereich K ein Körper, meist
oder
, und V eine abelsche Gruppe, etwa
bzw.
. Man fordert zusätzlich die Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit den bereits gegebenen Strukturen
und (V, + ). Ausgestattet mit der Operation
wird V zu einem Vektorraum über K.
Bemerkung
Der Begriff Operation bzw. Operator wird, z.B. in der Funktionalanalysis, auch für allgemeine zweistellige Verknüpfungen
bzw.
gebraucht. Hierbei sind A,B Mengen mit gleicher (meist algebraischer) Struktur, und oft soll die Transformation
bzw.
mit der Struktur auf A und B verträglich sein.
Äußere zweistellige Verknüpfungen zweiter Art
Eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art ist eine Abbildung
, das heißt f ist eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A, aber bezüglich dieser ist A nicht abgeschlossen.
Beispiele
- Das Skalarprodukt in
ordnet je zwei Vektoren aus
eine reelle Zahl zu und ist somit eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.
- Ist A ein affiner Raum über einem Vektorraum V, so ist
mit
eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.
Siehe auch
Weblinks
Commons: Binary operations – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
- Die Grundrechenarten (Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division) auf entsprechenden Mengen von Zahlen sind zweistellige Verknüpfungen. Zum Beispiel entsteht durch die Division einer ganzen Zahl
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