Zurückschneiden durch Rangbetrachtung

Zurückschneiden durch Rangbetrachtung

Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung)[1] ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski[2] vorgeschlagene Methode, wie man das Studieren einer Klasse auf das Studieren ihrer Teilmengen beschränken kann.[3] Um dies zu erreichen definiert man für eine Klasse K {\!}^\subseteq V = {x | {\!}^\exist y(x{\!}^\iny} die Teilklasse τ(K) = {x | x{\!}^\inK; {\!}^\forally{\!}^\inK (ρ(x) {\!}^\leq ρ(y))}, wenn ρ:V{\!}^\rightarrowOn die Rangfunktion ist.[4] Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen.[5] Wenn ξ = min{ρ(x) | x{\!}^\inK} ist, dann ist τ(K) eine Menge, deren Rang höchstens ξ + 1 beträgt. Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen:[4]

  • Für jede Relation R existiert eine vorgängerkleine Teilrelation S mit demselben Definitionsbereich.
  • Für jede Relation R existiert eine Teilrelation S mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
  • Wenn jede nicht leere Menge ein R-kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein R-kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel Φ gilt ({\!}^\forallx({\!}^\forallyRxΦ(y) \Rightarrow Φ(x))) \Rightarrow{\!}^\forallzΦ(z) (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes).
  • Für jede Menge A und endlich viele Relationen R1,...,Rk existiert eine für jedes i{\!}^\in{1,...,k} fast Ri-abgeschlossene Menge B {\!}^\supseteq A.
  • Für jede reflexive transitive symmetrische Relation R existiert eine Funktion F: {\!}^{\forall}x{\!}^{\forall}y(F(x) = F(y) \Leftrightarrow xRy).

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Auf engl.: Cutting Down Classes to Sets.
  2. Tarski A., General principles of induction and resursion; The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications, 1955, Bull. Amer. Math., 61, S. 442-443
  3. Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3540204015, 2.6, 2.8
  4. a b Levy A., Basic Set Theory, Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7, II.7
  5. Zuckerman M., Sets and Transfinite Numbers, Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9, 6.1

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