Wurzel 3

Wurzel 3 als Länge der Diagonale eines Würfels

Wurzel 3 im Koordinatensystem

Die Quadratwurzel aus 3 (geschrieben $\sqrt{3}$) ist die positive, reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt. Die Wurzel von 3 ist eine irrationale Zahl. Sie ist eine mathematische Konstante, auch bekannt unter dem Namen Theodorus-Konstante, benannt nach Theodoros von Kyrene.

Näherungsweise gilt: $\sqrt{3} \approx 1{,}7320508$

Ihre Kettenbruchentwicklung ist $\sqrt{3} =$ [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,…].

Es ist auch $\sqrt{3} = (4 \cos^2 \tfrac{\pi}{12}) - 2$ und $\sqrt{3} = \tan\tfrac{\pi}{3}.$

Beweis der Irrationalität

Angenommen, $\sqrt{3}$ wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen a und b schreiben:

$\sqrt{3} = {a \over b}$.

Durch Quadrieren der Gleichung erhält man

$3 = {a^2 \over b^2}$

bzw.

3b² = a²   (1)

In Gleichung (1) ist die rechte Seite genau dann ungerade, wenn a ungerade ist. Ebenso ist die linke Seite (weil 3 ungerade ist) genau dann ungerade, wenn b ungerade ist. Folglich haben a und b die gleiche Parität. Als teilerfremde Zahlen können aber nicht beide gerade sein, also sind a und b beide ungerade. Demnach kann man sie mit geeigneten ganzen Zahlen m und n in der Form

a = 2m + 1 bzw. b = 2n + 1

schreiben. Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein, ergibt sich

3(4n² + 4n + 1) = 4m² + 4m + 1

und nach elementaren Umformungen (Ausmultiplizieren, variable Ausdrücke auf eine Seite bringen, Division durch 2)

1 = 2(m² + m − 3n² − 3n)   (2)

In Gleichung (2) ist die rechte Seite gerade, da sie das Doppelte einer ganzen Zahl ist, während die 1 links ungerade ist. Dies ist ein Widerspruch, so dass die Annahme, $\sqrt 3$ wäre rational, falsch sein muss. Folglich ist $\sqrt 3$ irrational.^[1]

Die ersten 100 Nachkommastellen

1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 1690880003 7081146186 7572485756^[2]

Weitere Dezimalstellen finden sich auch unter Folge A002194 in OEIS.

Anwendung

• Die Länge der Diagonale eines dreidimensionalen Würfels mit der Einheitslänge 1 beträgt $\sqrt{3}$
• Die Distanz zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines regulären Sechsecks mit der Seitenlänge 1 beträgt $\sqrt{3}$
• Der Verkettungsfaktor, das Verhältnis von Phasenspannung (230 V) zu Außenleiterspannung (400 V), beträgt bei Dreiphasenwechselstrom $\sqrt{3}$
• Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 1 beträgt $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$

• 

  Das Seitenverhältnis a zu r des Rechtecks im Kreis, entspricht $\sqrt{3}$.

Siehe auch

• Wurzel 2

Einzelnachweise

1. ↑ vgl. The Irrationality of square root of three (englisch)
2. ↑ The square root of 3 to 100,000 places von Owen O’Malley (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Theodorus’s Constant. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A028257 in OEIS (Engel-Entwicklung von √3)