Windungszahl

Die Windungszahl (auch Umlaufzahl oder Index genannt) ist eine topologische Invariante, die eine entscheidende Rolle in der Funktionentheorie spielt.

Vorbetrachtung

Die Windungszahl einer Kurve γ in Bezug zu einem Punkt z₀ stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um z₀ dar, wenn man dem Verlauf der Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt eine negative Windungszahl.

Windungszahl = 1	Windungszahl = -1	Windungszahl = 0	Windungszahl = 1	Windungszahl = 2

Definition

Ist γ eine geschlossene Kurve in $\mathbb C$ und ist ferner z₀ ein Punkt in $\mathbb C$, der nicht auf γ liegt, dann ist die Windungszahl von γ in Bezug zu z₀ definiert als

$\operatorname{ind}_\gamma(z_0) = n(\gamma,z_0) := \frac 1{2\pi\mathrm i} \int_\gamma \frac{\mathrm d\zeta}{\zeta - z_0} \in\Z.$

Die Windungszahl wird in der Literatur oft auch mit I oder χ bezeichnet. Man kann zeigen, dass die Windungszahl stets eine ganze Zahl ist.

Berechnung

Windungszahl=2

Windungszahl=0

Intuitiv lässt sich die Windungszahl mittels

$\operatorname{ind}_\gamma (z_0)=$ Anzahl der Umläufe von γ um z₀ entgegen dem Uhrzeigersinn − Anzahl der Umläufe von γ um z₀ im Uhrzeigersinn

berechnen.

Die Berechnung über die Definition ist oft nicht ohne Weiteres möglich. Beginnen kann man, indem man die Kurve auf dem Rand des Einheitskreises

$\gamma\colon[0,2\pi]\to\mathbb C, t\mapsto e^{\mathrm it}$

betrachtet. Nach der intuitiven Regel ist $\operatorname{ind}_\gamma(z)=1$ für alle $z\in\mathbb E$ und $\operatorname{ind}_\gamma(z)=0$ für alle $z\in\mathbb C\setminus\bar{\mathbb E}$. Letzteres folgt sofort mit dem Integralsatz von Cauchy und der Definition. Sei nun

$f\colon\mathbb E\to\mathbb C, z\mapsto \operatorname{ind}_\gamma(z).$

Es gilt

$\operatorname{ind}_\gamma(0) = f(0) = \frac 1{2\pi\mathrm i}\int_\gamma\frac{\mathrm d\zeta}\zeta = \frac 1{2\pi\mathrm i}\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm ie^{\mathrm it}}{e^{\mathrm it}}\mathrm dt = 1.$

Durch Vertauschen von Differentiation und Integration ist

$f'(z)=\frac 1{2\pi\mathrm i} \int_\gamma \frac{\mathrm d\zeta}{\left(\zeta - z\right)^2},$

und weil $\zeta\mapsto -\frac 1{\zeta-z}$ eine Stammfunktion des Integranden ist, ist $f'\equiv 0$. Weil $\mathbb E$ zusammenhängend ist, ist also $f(z)=\operatorname{ind}_\gamma(z)=1$ für alle $z\in\mathbb E$.

Algorithmus

Windungszahl der Flächen eines nicht trivialen Polygons. Die Windungszahl, für die Fläche, in welcher sich der Punkt befindet ist 1, d.h. er liegt innerhalb des Polygons (graue Fläche). Jede Fläche hat eine feste Windungszahl.

In der algorithmischen Geometrie wird die Windungszahl verwendet, um zu bestimmen, ob ein Punkt außerhalb oder innerhalb eines nicht simplen Polygons (Polygon, bei welchem sich die Kanten überschneiden) liegt. Für simple Polygone vereinfacht sich der Algorithmus zur even-odd Regel.

Für Polygone (Kantenzüge), bei welchen sich die Form aus Liniensegmenten zusammensetzt verwendet man für die Berechnung der Windungszahl folgenden Algorithmus:

1. Suche eine Halbgerade (beginnend beim zu untersuchenden Punkt nach außen), welche keine Eckpunkte des Polygons enthält.
2. Setze w = 0.
3. Für alle Schnittpunkte der Halbgerade mit dem Polygonzug:
   • Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, welche von „links nach rechts“ orientiert ist (Punkt liegt auf der rechten Seite der Kante) erhöhe w um 1.
   • Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, welche von „rechts nach links“ orientiert ist (Punkt liegt auf der linken Seite der Kante) verkleinere w um 1.
4. w ist nun die Windungszahl des Punktes.

Ist die Windungszahl 0, so liegt der Punkt außerhalb des Polygons, sonst innerhalb.

In nebenstehendem Beispiel ist die Halbkante mit der gestartet wird der senkrechte Pfeil. Er schneidet drei Halbgeraden des Polygons. Bezüglich der roten Kante liegt der Punkt rechts (W = 1). Bezüglich der nächsten Kante liegt der Punkt auch rechts (W = 2) und bez. der letzten Kante liegt der Punkt links (W = 1). Der Punkt liegt innerhalb des Polygons. Die Polygonfläche ist grau hinterlegt.

Ein analoger Algorithmus ergibt natürlich auch für nicht geradlinig verlaufende (geschlossene) Kurven die Windungszahl um einen Punkt, allerdings ist da das Überprüfen der Schnittpunkte nicht so einfach zu implementieren.

Verallgemeinerung für höher-dimensionale Mannigfaltigkeiten

Eine vielbenutzte Verallgemeinerung für höher-dimensionale Mannigfaltigkeiten stammt von Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Und zwar lässt sich die Formel unter Benutzung des allgemeinen Stokes'schen Satzes in der Form

$\mathrm{ind}_{\gamma}(0) =\frac {1}{n\mathrm{Vol(B)}} \oint_{\gamma }\frac{\vec x\cdot\mathrm d\vec S}{\|x\|^{n}}$

schreiben. B ist die Einheitskugel im $\mathbb R^n$, γ ist die betrachtete (n-1)-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Cauchysche Integralformel
• Residuensatz
• Kurvenintegral

Literatur

• Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4