Windung (Geometrie)

Windung oder Torsion ist in der Differentialgeometrie ein Maß für die Abweichung einer Kurve vom ebenen Verlauf. Die Windung beschreibt zusammen mit der Krümmung das lokale Verhalten der Kurve und kommt wie die Krümmung als Koeffizient in den frenetschen Formeln vor.

Definition

Die betrachtete Kurve sei durch die Bogenlänge s parametrisiert:

$\vec{r} = \vec{r}(s) \,.$

Für einen Kurvenpunkt $\vec{r}(s)$ erhält man durch Ableiten nach s den Tangenteneinheitsvektor

$\vec{t}(s) = \vec{r}\,'(s) \,.$

Erneutes Ableiten und Normieren liefert den Hauptnormaleneinheitsvektor

$\vec{n}(s) = \frac{\vec{t}\,'(s)}{|\vec{t}\,'(s)|} = \frac{\vec{r}\,''(s)}{|\vec{r}\,''(s)|} \,.$

Zusätzlich wird mit Hilfe des Vektorprodukts der Binormaleneinheitsvektor

$\vec{b}(s) = \vec{t}(s) \times \vec{n}(s)$

festgelegt. Die Windung (Torsion) $\tau(s)\,$ der Kurve an der Stelle s ist nun festgelegt durch das Skalarprodukt

$\tau(s) = -\vec{b}\,'(s) \cdot \vec{n}(s) \,.$

Berechnung

Für die praktische Berechnung eignet sich die oben gegebene Definition der Windung nicht besonders gut, da eine Parametrisierung durch die Bogenlänge vorausgesetzt wird. Die folgende Formel bezieht sich auf eine Kurve im dreidimensionalen Raum ($\mathbb{R}^3$), die als Funktion r eines beliebigen Parameters t (in der Praxis üblicherweise die Zeit) in der Form

$\vec{r} = \vec{r}(t)$

gegeben ist:

$\tau(t) = \frac{\left(\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)\right) \cdot \vec{r}\,'''(t)} {\left|\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)\right|^2}$

Im Falle einer ebenen Kurve gibt es nichts zu berechnen, da die Windung den Wert 0 hat. Man beachte, dass das Vorzeichen für praktische Berechnung der Torsion reine Konventionssache ist. So gibt beispielsweise ^[1] die Torsion mit negativem Vorzeichen an.

Literatur

1. ↑ Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Manfredo P. do Carmo