Wiedemann-Franzsches Gesetz

Das Wiedemann-Franzsche Gesetz, auch Wiedemann-Franz-Gesetz, ist ein empirisches Gesetz, das das Verhältnis zwischen thermischer Leitfähigkeit λ und elektrischer Leitfähigkeit σ in einem Metall als nahezu proportional zur Temperatur T beschreibt, unabhängig von dem betrachteten Metall:

$\frac{\lambda}{\sigma} = L T$

Die Proportionalitätskonstante $L = \frac{\lambda}{\sigma T}$ heißt Lorenz-Zahl. Ihre Einheit im MKSA-System ist W Ω/K² bzw. V²/K². Ihr Wert liegt bei $2{,}1\ldots 2{,}9\cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}$.

Geschichte

Das Gesetz wurde nach Gustav Heinrich Wiedemann und Rudolph Franz benannt. Diese hatten 1853 zuerst herausgefunden, dass das Verhältnis $\tfrac{\lambda}{\sigma}$ für alle Metalle bei gleicher Temperatur annähernd gleich ist. Ludvig Lorenz stellte dann schließlich 1872 die Linearität dieses Verhältnisses zur Temperatur fest.

Die erste theoretische Erklärung des Gesetzes erfolgte um 1900 durch Paul Drude, der mit dem nach ihm benannten Drude-Modell für die Lorenz-Zahl den Wert

$L = \frac{3}{2}\left(\frac{k_\mathrm{B}}{e}\right)^2 = 1{,}11\cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}$

berechnete, wobei k_B die Boltzmann-Konstante und e die Elementarladung bezeichnet. Dieser Wert weicht durch falsche Annahmen im Drude-Modell um einen Faktor zwei von den experimentell bestimmten Werten ab, stellt den Zusammenhang aber bereits qualitativ korrekt dar. Mit der um 1933 durch Arnold Sommerfeld verbesserten Drude-Sommerfeld-Theorie wird die Lorenz-Zahl schließlich auch quantitativ bestätigt:

$L = \frac{\lambda}{\sigma T} = \frac{\pi^2}{3}\left(\frac{k_\mathrm{B}}{e}\right)^2 = 2{,}44\cdot 10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}$

Bedeutung

Lorenzzahl für Kupfer, rosa Linie.

Das Wiedemann-Franzsche Gesetz zeugt von der Tatsache, dass in Metallen die Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie sind. Es gilt für (im Vergleich zur Debye-Temperatur) sehr tiefe und sehr hohe Temperaturen. Abweichungen ergeben sich bei mittleren Temperaturen zwischen ungefähr 10 K und 200 K durch ballistische Wärmeleitung. Außerdem berücksichtigt das Wiedemann-Franzsche-Gesetz nicht Beiträge von Gitterschwingungen (Phononen) zur Wärmeleitung, da diese zwar Wärme, aber keine Ladung transportieren.

In der Grafik sind der Kehrwert der elektrischen Leitfähigkeit, der spezifische Widerstand, und die thermische Leitfähigkeit von Kupfer als rote und grüne Linie aufgetragen. Das Produkt der beiden Größen, die blaue Linie, hängt von der Temperatur ab. Nach Division durch die Temperatur erhält man die Lorenzzahl, hellblaue Linie. Bei 300K liegt sie bei 2.31e-8 U²/K² und steigt bis 900K um weniger als 5% auf 2.41e-8.

Literatur

• G. Wiedemann, R. Franz: Ueber die Wärme-Leitungsfähigkeit der Metalle. In: Annalen der Physik. 165, Nr. 8, 1853, S. 497-531, doi:10.1002/andp.18531650802. (PDF).
• L. Lorenz: Bestimmung der Wärmegrade in absolutem Maasse. In: Annalen der Physik. 223, Nr. 11, 1872, S. 429-452, doi:10.1002/andp.18722231107.
• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Solid State Physics. Saunders College Publishing, New York 1976, ISBN 0-03-083993-9, S. 20-23, 52.
• R. W. Powell: Correlation of metallic thermal and electrical conductivities for both solid and liquid phases. In: International Journal of Heat and Mass Transfer. 8, Nr. 7, 1965, S. 1033-1045, doi:10.1016/0017-9310(65)90086-4.