Vollstetiger Operator

Vollstetiger Operator

Ein kompakter Operator zwischen zwei Banachräumen ist in der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik, eine Abbildung mit einem „sehr dünnen“ Bild.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Seien E,F Banachräume, K\colon E\to F ein Operator. Dann heißt K kompakt, falls K stetig ist und das Bild jeder beschränkten Menge S in E eine relativkompakte Teilmenge von F ist.


Beispiel

Die Identität auf einem Banachraum ist genau dann kompakt, wenn der Banachraum endlich-dimensional ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Einheitskugel genau dann relativkompakt ist, wenn der Banachraum endlich-dimensional ist.

Lineare kompakte Operatoren

Für lineare Operatoren reicht es zu fordern, dass das Bild der Einheitskugel \{x \in E: \|x\| \le 1\} relativkompakt ist. Es ergibt sich dann folgender Zusammenhang zu stetigen Operatoren: Ist K stetiger linearer Operator, so wird jede beschränkten Menge auf eine beschränkte Menge abgebildet. Ist K kompakter linearer Operator, wird jede beschränkten Menge auf eine relativkompakte Menge abgebildet. Da jede relativkompakte Menge beschränkt ist, muss die Stetigkeit von K dann nicht mehr gefordert werden.

Vollstetige Operatoren

Seien E,F Banachräume, K\colon E\to F ein Operator. Dann heißt K vollstetig, falls für jede in E schwach konvergente Folge (xn) die Bildfolge (K(xn)) in F normkonvergent ist. Kompakte Operatoren sind vollstetig. Ist E reflexiv, so ist auch jeder vollstetige Operator kompakt. [1]


Eigenschaften

  • Für einen kompakten Operator K und einen Skalar \lambda\in\R (bzw. \lambda\in\mathbb{C}) ist auch der Operator λK kompakt.
  • Für kompakte Operatoren K1 und K2 ist auch der Operator K1 + K2 kompakt.
  • Ist \{K_n\}_{n=1}^{\infty} eine Folge kompakter Operatoren die bezüglich der Operatornorm konvergiert, so ist auch \lim_{n\to\infty}K_n kompakt.
  • K: X\to Y ist genau dann kompakt, wenn der adjungierte Operator K^*: Y^*\to X^* kompakt ist.
  • Seien W, X, Y und Z Banachräume, K:X\rightarrow Y ein kompakter Operator, A:W\rightarrow X und B:Y\rightarrow Z beschränkte Operatoren. Dann ist auch BKA:W\rightarrow Z kompakt.
  • Insbesondere ist die Menge aller kompakten Operatoren eines Hilbertraumes H ein selbstadjungiertes abgeschlossenens Ideal in der C*-Algebra aller beschränkten linearen Operatoren auf H.
  • K: X\to Y ist genau dann kompakt, wenn zu jeder beschränkten Folge (xn) in X eine Teilfolge von (K(xn)) existiert, welche in Y konvergiert. Kompakte Operatoren bilden also beschränkte Folgen auf Folgen mit konvergenten Teilfolgen ab. Ist X unendlichdimensional, gibt es beschränkte Folgen, die keine konvergenten Teilfolgen besitzen. Somit können kompakte Operatoren Konvergenzeigenschaften "verbessern".
  • Ist K: X\to Y ein linearer Operator und X endlichdimensional, so ist K kompakt

Eine wichtige Eigenschaft kompakter Operatoren ist, dass sie in folgendem Sinne "fast endlichdimensional" sind:

Gibt es eine Folge von Operatoren endlichen Ranges, welche in der Operatornorm gegen K konvergiert, so ist K kompakt.

In Hilberträumen gilt auch die Umkehrung, im Allgemeinen nicht.

Einzelnachweise

  1. John B. Conway: A Course in Functional Analysis. 2. Auflage. Springer, ISBN 0-387-97245-5, VI, §3

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