Verträglichkeit (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die eine Struktur der gleichen Art besitzen, mit dieser Struktur verträglich oder ein (konkreter) Morphismus, falls sie die Elemente aus der einen strukturierten Menge so in die andere, gleich strukturierte Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort bezüglich den gleichen strukturrelevanten Relationen sowie Verknüpfungen ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.

Der Begriff der Verträglichkeit lässt sich auch auf beliebige Verknüpfungen auf einer strukturierten Menge übertragen. Ein wichtiges Beispiel hierfür sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknüpfungen, die linksverträglich bzw. rechtsverträglich mit anderen Verknüpfungen sind.

Definitionen

Gegeben seien zwei Mengen A und B sowie beliebige Indexmengen I,J,K, die im folgenden immer auch unendlich sein können. Die Menge $A^I = \{(a_i)_{i\in I} \mid a_i \in A$ für alle $i\in I\}$ aller Familien in A mit Indexmenge I wird, falls I endlich ist und n Elemente enthält, ebenso mit $A^n = \{(a_1,\ldots,a_n) \mid a_1,\ldots,a_n \in A\}$ bezeichnet. Eine Abbildung $\varphi\colon\, A \to B,\, a \mapsto \varphi(a),$ heißt dann Morphismus oder verträglich mit der (gemeinsamen) Struktur zweier Relationen der gleichen Art $R_A \subseteq A^K$ auf A und $R_B \subseteq B^K$ auf B, wenn gilt:

$(a_k)_{k\in K} \in R_A \implies \left(\varphi(a_k)\right)_{k\in K} \in R_B.$

Sind zwei Relationen gleicher Art $R_A \subseteq A^J\!\times A$ und $R_B \subseteq B^J\!\times B$ Abbildungen (definiert als linkstotale und rechtseindeutige Relationen) $f_A\colon\, A^J \to A,\, (a_j)_{j\in J} \mapsto f_A(a_j)_{j\in J},$ und $f_B\colon\, B^J \to B,\, (b_j)_{j\in J} \mapsto f_B(b_j)_{j\in J},$ bzw. deren Graphen $G_{f_A} = R_A$ sowie $G_{f_B} = R_B,$ so ist eine Abbildung $\varphi\colon\, A \to B$ genau dann verträglich mit deren Struktur, wenn

$\varphi\left(f_A(a_j)_{j\in J}\right) = f_B\left(\varphi(a_j)\right)_{j\in J}$   für alle $(a_j)_{j\in J} \in A^J.$

Eine Abbildung, die mit einer durch Abbildungen gegebenen Struktur verträglich ist, wird auch Homomorphismus genannt.

Ist nun $\varphi\colon\, A^I \to A,\, (a_i)_{i\in I} \mapsto \varphi(a_i)_{i\in I},$ eine beliebige innere Verknüpfung auf A und $R_A \subseteq A^K,$ so ist auf der I-ten (kartesischen) Potenz A^I von A komponentenweise die Relation $R_{A^I} := \bigl\{\left((a_{i,k})_{i\in I}\right)_{k\in K} \bigr|\, (a_{i,k})_{k \in K} \in R_A$ für alle $i \in I\,\bigl\} \subseteq \bigl(A^I\bigr)\bigr.^K$ von gleicher Art wie R_A auf A gegeben. φ heißt dann verträglich mit R_A, wenn φ nach obiger Definition verträglich ist mit der Struktur von $R_{A^I}$ und von R_A.

$\varphi\colon\, A^I \to A$ ist somit genau dann verträglich mit einer inneren Verknüpfung $f_A\colon\, A^J \to A,$ wenn mit $f_{A^I}\colon\, \bigl(A^I\bigr)^J \to A^I,\, \left((a_{i,j})_{i\in I}\right)_{j\in J} \mapsto f_{A^I}\left((a_{i,j})_{i\in I}\right)_{j\in J} = \left(f_A(a_{i,j})_{j\in J}\right)_{i\in I},$ gilt:

$\varphi\left(f_A(a_{i,j})_{j\in J}\right)_{i\in I} = f_A\left(\varphi(a_{i,j})_{i\in I}\right)_{j\in J}$   für alle $\left((a_{i,j})_{i\in I}\right)_{j\in J} \in \bigl(A^I\bigr)^J.$

Ist $*\colon\, A^2 \to A,\, (a_1,a_2) \mapsto a_1*a_2,$ eine zweistellige innere Verknüpfung auf A, dann nennt man * linksverträglich mit R_A (bzw. f_A), wenn für jedes $c \in A$ die Linkstranslation

$\tau_{c*}\colon\, A \to A,\, a \mapsto \tau_{c*}(a) := c*a,$

und rechtsverträglich mit R_A (bzw. f_A), wenn für jedes $c \in A$ die Rechtstranslation

$\tau_{*c}\colon\, A \to A,\, a \mapsto \tau_{*c}(a) := a*c,$

mit R_A (bzw. f_A) verträglich ist. Zu einer zweistelligen inneren Verknüpfung * auf A, die linksverträglich oder rechtsverträglich ist mit einer anderen inneren Verknüpfung $f_A\colon\, A^J \to A$ auf A, sagt man auch, dass sie linksdistributiv bzw. rechtsdistributiv über f_A ist:

$c*f_A(a_j)_{j\in J} = f_A(c*a_j)_{j\in J}$   bzw.   $f_A(a_j)_{j\in J}*c = f_A(a_j*c)_{j\in J}$   für alle $c \in A$ und für alle $(a_j)_{j\in J} \in A^J.$

* heißt distributiv über f_A, falls * links- und rechtsdistributiv über f_A ist.

Beispiele

• Die mit geordneten Strukturen $(A,\leq)$ und $(B,\sqsubseteq)$ verträglichen Abbildungen $\varphi\colon\, A \to B$ heißen isoton oder auch monoton steigend:

$a_1 \leq a_2 \implies \varphi(a_1) \sqsubseteq \varphi(a_2)$   für alle $a_1,a_2 \in A.$

• Mit algebraischen Strukturen verträgliche Abbildungen sind Homomorphismen.

• Vollständige Verbandshomomorphismen von unendlichen vollständigen Verbänden sind Beispiele für unendlichstellige Homomorphismen.

• Ist auf einer algebraischen Struktur $\left(A,(f_i)\right)$ eine Äquivalenzrelation so erklärt, dass die Verknüpfungen f_i mit dieser Äquivalenzrelation verträglich sind, so können diese Verknüpfungen auf die Faktormenge nach der Äquivalenzrelation (d. h. die Menge der Restklassen) übertragen werden und ihre wesentlichen Eigenschaften bleiben erhalten. Die Faktormenge selbst ist dann auch wieder eine solche algebraische Struktur.

• Die Topologie $\mathcal O$ eines topologischen Raums $(X,\mathcal O)$ ist eindeutig durch das Hüllensystem $\mathcal A$ aller abgeschlossenen Mengen des Raumes gegeben und ebenso ist $\mathcal A$ durch das Kernsystem $\mathcal O$ eindeutig bestimmt, denn jede offene Menge $O \in \mathcal O$ ist das (absolute) Komplement einer abgeschlossenen Menge $A \in \mathcal A$ und umgekehrt. Jede abgeschlossene Menge $A \in \mathcal A$ lässt sich wiederum dadurch charakterisieren, dass jeder Punkt $a \in X$ genau dann in A liegt, wenn gegen ihn ein Netz $(a_i)_{i\in I}$ konvergiert mit $a_i \in A$ für alle $i \in I.$ Die Topologie $\mathcal O$ und das Konvergenzverhalten aller Netze in X sind also äquivalent.

Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume $(X,\mathcal O)$ und $(Z,\mathcal Q)$ ist daher eine Abbildung $\varphi\colon\, X \to Z$ genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt $x \in X$ mit allen gegen x konvergenten Netzen verträglich ist:

$(x_i)_{i\in I} \longrightarrow_X x \implies \left(\varphi(x_i)\right)_{i\in I} \longrightarrow_Z \varphi(x)$   für alle Netze $(x_i)_{i\in I}$ mit $x_i \in X$ für alle $i \in I.$

• Die Distributivität spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle.

Literatur

• Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Edition. AMS, Providence, RI, 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
• Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin – Heidelberg 1967.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin – Heidelberg – New York 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie, Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0.
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.