Vergleichssatz

Vergleichssatz

Vergleichssätze (englisch: comparison principle) sind in der Theorie von Differentialgleichungen wichtige Hilfsmittel, um Aussagen über das Verhalten von Lösungen dieser Gleichungen treffen zu können. Diese sind insbesondere deshalb wichtig, da man für solche Gleichungen oftmals keine expliziten Lösungsformeln angeben kann.

Inhaltsverzeichnis

Vergleichssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist der Vergleichssatz eines der wichtigsten Hilfsmittel, um Aussagen über Lösungen von (skalaren) Differentialgleichungen erster Ordnung zu treffen, welche man nicht explizit ausrechnen kann.

Anschaulich bedeutet er, dass Lösungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben, d.h., ist u(a) < v(a) für zwei Lösungen einer skalaren Differentialgleichung, so bleibt u(x) < v(x) auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. Ist insbesondere eine Lösung der Differentialgleichung explizit bekannt, so gewinnt man daraus Abschätzungen für nicht explizit ausrechenbare Lösungen.

Da es jedoch nicht immer möglich ist, explizite Lösungen aufzufinden, ist es aus praktischen Gründen notwendig, auch mit Ober- bzw. Unterlösungen vergleichen zu können, da diese leichter zu konstruieren sind.

Formulierung

Es sei D \subset \mathbb{R}, F: (a,b] \times D \rightarrow \mathbb{R} stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Weiter seien y_+, y_- \in C([a,b]) \cap C^1((a, b]) eine Ober- bzw. Unterlösung von \ y'=F(x,y), d. h., es gelte y_+(x), y_-(x) \in D für alle x \in (a,b] mit

y_+'(x) \geq F(x,y_+(x))\ \textrm{und}\ y_-'(x) \leq F(x,y_-(x))

für alle x \in (a,b]. Gilt zudem \ y_+(a) > y_-(a), so folgt

\ y_+(x) > y_-(x)

für alle x \in [a,b].

Variante

Analog gilt, wobei man (a,b] durch [a,b) ersetze: Falls \ y_+(b) < y_-(b), so folgt \ y_+(x) < y_-(x) für alle x \in [a,b].

Beweis

Sei \ d(x) := y_+(x) - y_-(x) und A := \{x \in [a,b]\ |\ d(x) \leq 0\}. Angenommen, A \neq \emptyset. Für x0: = min A > a folgt d > 0 auf [a,x0) und d(x0) = 0. Man fixiere ein s_0 \in (a,x_0). Es ist K := \{y_+(x)\ |\ x \in [s_0,x_0]\} \cup \{y_-(x)\ |\ x \in [s_0,x_0]\} eine kompakte Teilmenge von D. Da F lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, gibt es ein L \geq 0 mit

\|F(x,y) - F(x,z)\| \leq L\|y-z\|

für alle x \in [s_0,x_0] und y,z \in K. Es folgt

d'(x) = y_+'(x)-y_-'(x) \geq F(x,y_+(x))-F(x,y_-(x)) \geq -L\|y_+(x)-y_-(x)\| = -L\cdot d(x)

für alle x \in [s_0,x_0], also \frac{d'(x)}{d(x)} \leq -L für alle x \in [s_0, x_0). Integration liefert \ln d(x) - \ln d(s_0) \geq -L(t-s_0), also d(x) \geq d(s_0)e^{-L(x-s_0)} für alle x \in (s_0, x_0). Aus der Stetigkeit von d folgt der Widerspruch d(x_0) \geq d(s_0)e^{-L(x_0-s_0)} > 0.

\Box

Beispiel

Man betrachte das Anfangswertproblem

y' = \frac{y^6-64}{1+x^2y^2}\ ,\ y(0) = 1\ .

Es besitzt eine nicht-fortsetzbare Lösung y: D \rightarrow \mathbb{R}. Die Differentialgleichung hat die trivialen Lösungen y_1(x) :\equiv 2 und y_2(x) :\equiv -2. Gemäß dem Vergleichssatz, jeweils angewandt auf \ y,y_1 und \ y,y_2, gilt \ -2 < y(x) < 2 für alle x \in D. Insbesondere folgt aus dem Satz über das maximale Existenzintervall, dass D = \mathbb{R}, d. h., die Lösung existiert global. Zudem liefert die Abschätzung y' < 0. Somit ist y streng monoton fallend.

\Box

Vergleichssätze für partielle Differentialgleichungen

Auch für partielle Differentialgleichungen existieren Vergleichssätze, etwa für die nichtlineare parabolische Differentialgleichung.[1] Als Verallgemeinerung des schwachen Maximumprinzips erlauben die Vergleichssätze Aussagen insbesondere über die Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen.

Literatur

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

Einzelnachweise

  1. Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 190-194

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