Vektorfeld

Vektorfeld
Beispiel eines Vektorfeldes. Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt, welche Richtung und Betrag (Pfeillänge) wiedergeben
3-dimensionales Vektorfeld (-y,z,x)

In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der physikalischen Feldtheorie, zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchens einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer Kraft, wie der magnetischen oder der Schwerkraft, zu beschreiben.

Inhaltsverzeichnis

Vektorfelder im euklidischen Raum

Definition

Unter einem Vektorfeld v auf einer Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt x \in \Omega einen Vektor v(x) \in \R^n zuordnet, v \colon \Omega \rightarrow \R^n. Ist v k-mal differenzierbar, so spricht man von einem Ck-Vektorfeld. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge Ω ein „Pfeil angebracht“.

Beispiele

  • Gradientenfeld: Ist f \colon \Omega \rightarrow \R eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge \Omega \subset \R^n, so wird das Gradientenfeld \operatorname{grad} f \colon \Omega \rightarrow \R^n von f definiert durch die Zuordnung
    x \mapsto \operatorname{grad} f(x) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right).
Oft schreibt man es mit dem Nabla-Symbol: \operatorname{grad} f = \nabla f. Ist ein Vektorfeld v das Gradientenfeld einer Funktion f, das heißt v = \nabla f, so bezeichnet man f als Potential. Man sagt auch v besitzt ein Potential.
Beispiele von Gradientenfeldern sind das von einer Punktquelle nach allen Seiten gleichmäßig fließende Feld einer Strömung und das elektrische Feld um eine Punktladung.
  • Zentralfelder: Sei I ein Intervall, welches die Null enthält, und K(I) = \{x \in \R^n: \|x\| \in I\} \subset \R^n eine Kugelschale. Zentralfelder auf der Kugelschale sind definiert durch
 v(x) = a(\|x\|) \cdot x mit a:I \rightarrow \R.
  • In \R^3 \backslash \{0\} ist das Gravitationsfeld v(x) = -\frac{x}{\|x\|^3} ein solches Zentralfeld.
  • Weitere Beispiele sind im \mathbb R^3 die mathematisch diffizileren sogenannten „Wirbelfelder“. Sie lassen sich als Rotation eines Vektorpotentials \mathbf A beschreiben, nach der Formel \mathbf v(\mathbf r)=\mathbf{rot \,\,}\mathbf A (s.u.).
Prägnantes Beispiel eines Wirbelfeldes ist das in Kreislinien um den Ausfluss einer „Badewanne“ herumwirbelnde Strömungsfeld, oder das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht.

Quellenfreie und wirbelfreie Vektorfelder; Zerlegungssatz

Ein mindestens zweimal stetig-differenzierbares Vektorfeld \mathbf v(\mathbf r) im \mathbb R^3 heißt quellenfrei (beziehungsweise wirbelfrei), wenn seine Quellendichte (Divergenz) beziehungsweise Wirbeldichte (Rotation) dort überall Null ist. Unter der weiteren Voraussetzung, dass die Komponenten von \mathbf v im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden, gilt der sogenannte Zerlegungssatz: Jedes Vektorfeld \mathbf v(\mathbf r) ist eindeutig durch seine Quellen bzw. Wirbel bestimmt, und zwar gilt die folgende Zerlegung in einen wirbelfreien beziehungsweise quellenfreien Anteil:

\mathbf v(\mathbf r)\equiv \mathbf{-grad_{\mathbf r}\,\,}  \int_{\mathbb R^3\,}\,d^3\mathbf r'\,\frac{\mathrm{{div'}\,\,}\mathbf v(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}+ \mathbf{rot_{\mathbf r}\,\,} \int_{\mathbb R^3\,}\,d^3\mathbf r'\,\,\frac{{\mathbf{rot'\,\,}}\mathbf v(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}\,.

Dies entspricht der Zerlegung eines statischen elektromagnetischen Feldes in den elektrischen beziehungsweise magnetischen Anteil (siehe Elektrodynamik[1] . Es sind also genau die Gradientenfelder (d.h. die „elektrischen Feldkomponenten“) wirbelfrei bzw. genau die Wirbelfelder (d.h. die „magnetischen Feldkomponenten“) quellenfrei. Dabei sind \mathbf{grad\,\,}\phi(\mathbf r):=\nabla\phi\,,   \mathrm{div\,\,}\mathbf v:=\nabla\cdot\mathbf v und \mathbf{rot\,\,}\mathbf v:=\nabla\times \mathbf v die bekannten, mit dem \nabla-Operator der Vektoranalysis gebildeten Operationen.

Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Definition

Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) Schnitt im Tangentialbündel TM.

Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine Ck-Abbildung v, so dass  v : M \to TM  mit  \pi\circ v = \mathop{\operatorname{id}}_M gilt. Es wird also jedem x \in M ein Vektor  v(x) \in T_xM zugeordnet. Die Abbildung π ist die natürliche Projektion \pi : TM \rightarrow M mit (p,v) \mapsto p .

Anmerkungen

Diese Definition verallgemeinert die der Vektorfelder im euklidischen Raum. Es gilt nämlich \R^n \cong T_p\R^n und T \R^n \cong \R^n \times \R^n.

Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.

Anwendungen

Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik: Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Siehe u.a. U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 , part II

Literatur

  • Königsberger: Analysis 2, Springer-Verlag, Berlin, 5. Auflage, 2004
  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7. 
  • John Lee: Introduction to smooth manifolds, Springer-Verlag, 2. Auflage

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Vektorfeld — Vek|tor|feld 〈[vɛ̣k ] n. 12〉 Feld, bei dem die zugeordnete Feldgröße ein Vektor ist * * * Vẹktorfeld   [v ], eine Abbildung, die jedem Punkt einer Menge einen Vektor zuordnet. Vektorfelder treten insbesondere in der Physik auf, z. B. als… …   Universal-Lexikon

  • Vektorfeld — vektorinis laukas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector field vok. Vektorfeld, n rus. векторное поле, n pranc. champ de vecteurs, m; champ vectoriel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Vektorfeld — Vek|tor|feld 〈[vɛ̣k ] n.; Gen.: (e)s, Pl.: er; Math.〉 durch einheitliche Ausrichtung aller Vektoren gekennzeichneter Teil eines Raumes …   Lexikalische Deutsches Wörterbuch

  • Vektorfeld — Vek|tor|feld das; [e]s, er: Gesamtheit von Punkten im Raum, denen ein Vektor zugeordnet ist …   Das große Fremdwörterbuch

  • Killing-Vektorfeld — Ein Killing Vektorfeld (benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Killing) ist ein Vektorfeld auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit, das die Metrik erhält. Killing Vektorfelder sind die infinitesimalen Generatoren von Isometrien (siehe… …   Deutsch Wikipedia

  • Konformes Killing-Vektorfeld — Ein konformes Killing Vektorfeld ist ein Vektorfeld auf einer semi riemannschen Mannigfaltigkeit, dessen Fluss winkelerhaltend ist. Der Begriff des konformen Killing Vektorfeldes ist eine Erweiterung des Begriffs des Killing Vektorfeldes.… …   Deutsch Wikipedia

  • Rotation (Mathematik) — Die Rotation ist ein Ableitungsoperator, der Vektorfelder im dreidimensionalen Raum ableitet und als Ergebnis wieder ein Vektorfeld liefert. Handelt es sich beispielsweise um ein Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort die doppelte… …   Deutsch Wikipedia

  • Rotation eines Vektorfeldes — Die Rotation ist ein Ableitungsoperator, der im dreidimensionalen Raum Vektorfelder ableitet. Handelt es sich um ein Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort die doppelte Winkelgeschwindigkeit an, mit der ein mitschwimmender Körper… …   Deutsch Wikipedia

  • Killing-Feld — Ein Killing Vektorfeld (benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Killing) ist ein Vektorfeld auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit, das die Metrik erhält. Killing Vektorfelder sind die infinitesimalen Generatoren von Isometrien (siehe… …   Deutsch Wikipedia

  • Killing-Vektor — Ein Killing Vektorfeld (benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Killing) ist ein Vektorfeld auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit, das die Metrik erhält. Killing Vektorfelder sind die infinitesimalen Generatoren von Isometrien (siehe… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”