Vektor

Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann. Vektoren in diesem allgemeinen Sinn werden im Artikel Vektorraum behandelt.

Im engeren Sinne versteht man in der analytischen Geometrie unter einem Vektor ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Dabei beschreiben Pfeile, die gleichlang, parallel und gleichorientiert sind, denselben Vektor. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden. Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden.

Motiviert von der Koordinatendarstellung der geometrischen Vektoren werden oft auch n-Tupel reeller Zahlen^[1], also Elemente des $\R^n$, als Vektoren bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass jeder n-dimensionale reelle Vektorraum isomorph zum $\R^n$ ist. Beispiele solcher Verwendung des Vektorbegriffs finden sich namentlich in der Wirtschaftsmathematik.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und Vektoren als Elementen des Koordinatenraums $\R^n$.

Eng verwandt mit den geometrischen Vektoren sind vektorielle Größen in der Physik. Das sind physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen, und oftmals durch Pfeile dargestellt werden, deren Länge gerade dem Betrag der Größe entspricht. Beispiele dafür sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, elektrische und magnetische Feldstärke.

Geschichte

Begründet wurde die Vektorrechnung von Hermann Günter Graßmann, der 1844 seine Lineale Ausdehnungslehre veröffentlichte, ein über dreihundert Seiten starkes Buch.^[2] Als Vorläufer gelten u. a. René Descartes und August Ferdinand Möbius, ein Schüler von Carl Friedrich Gauß. Nahezu zeitgleich entwickelte William Rowan Hamilton seine ähnliche Theorie ^[3] der Quaternionen, die er 1853 in dem Buch Lectures on Quaternions^[4] und 1866 in dem Werk Elements of Quaternions^[5][6] publizierte. In Deutschland wurde die Vektorrechnung insbesondere durch Vorlesungen und Bücher von Alfred Bucherer, August Föppl, Carl Runge, Fischer, v. Ignatowsky und Richard Gans verbreitet.

Geometrie

Definition

In der Geometrie versteht man unter einem Vektor ein Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Eine Verschiebung kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar. Zum Beispiel beschreiben im Bild rechts der Pfeil von A nach A', der Pfeil von B nach B' und der Pfeil von C nach C' dieselbe Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Sie repräsentieren alle denselben Vektor $\vec {v }= \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}$. Formal kann man deshalb Vektoren wie folgt definieren:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Eine andere Möglichkeit ist, einen Vektor mit der durch ihn dargestellten Parallelverschiebung zu identifizieren. „Vektor“ ist dann nur eine andere Sprechweise für „Parallelverschiebung“.

Schreib- und Sprechweisen

Ein Vektor von A nach B und seine Länge

Variablen, die für Vektoren stehen, werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet ($\vec{v}$). Vor allem im englischsprachigen Raum werden sie auch fett geschrieben ($\mathbf{v}$, $\boldsymbol v$ oder v). In Handschriften wird dies häufig durch Unterstreichung ($\underline v$) oder ähnliches repräsentiert. Früher war teilweise auch die Schreibweise mit Frakturbuchstaben ($\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$) üblich, handschriftlich durch deutsche Schreibschrift bzw. Sütterlinschrift wiedergegeben. Häufig gewählte Buchstaben sind $\vec a, \vec b, \vec c$ und $\vec u, \vec v, \vec w$.

Der Vektor, der eine Verschiebung beschreibt, die den Punkt A auf den Punkt B abbildet, wird als $\overrightarrow{AB}$ geschrieben und grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt A zum Punkt B zeigt. Man sagt: „Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ bildet A auf B ab“, oder „Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ verbindet A und B.“ Der Punkt A wird in diesem Fall als Ausgangs- oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektorpfeils bezeichnet.

Der umgekehrte Vektor $\overrightarrow{BA}$, der B mit A verbindet, heißt Gegenvektor zu $\overrightarrow{AB}$. Der Vektor $\overrightarrow{AA}$, der einen Punkt A auf sich selbst abbildet, heißt Nullvektor und wird mit $\vec 0$ oder $\vec o$ bezeichnet. Als einziger Vektor kann er grafisch nicht durch einen Pfeil dargestellt werden.

Darstellung in Koordinaten

Ist, wie in der Abbildung oben, ein geradliniges Koordinatensystem gegeben, so kann ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, ein Vektor im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben werden. In der Regel werden diese untereinander, als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben. Für den Vektor in der Ebene, der die Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts (in x-Richtung) und 3 Einheiten nach oben (in y-Richtung) beschreibt, schreibt man $\vec v = \tbinom 73$. Der Vektor $\tbinom 2{-5}$ beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und −5 Einheiten in y-Richtung, das heißt um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Entsprechend beschreibt im Raum der Vektor $\left(\begin{smallmatrix} 3\\-2\\4 \end{smallmatrix}\right)$ eine Verschiebung um 3 Einheiten in x-Richtung, 2 Einheiten in negativer y-Richtung und 4 Einheiten in z-Richtung.

Die Koordinaten eines Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Im obigen Beispiel haben A und A' die Koordinaten A( − 6 | − 1) und A'(1 | 2). Die Koordinaten des Verbindungsvektors $\vec v = \overrightarrow{AA'}$ berechnen sich dann wie folgt:

$\vec v = \overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix} 1 - (-6) \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Länge eines Vektors, Einheitsvektoren

Als Länge oder Betrag eines Vektors bezeichnet man die Länge der ihn repräsentierenden Pfeile, also den Abstand zwischen Anfangs- und Endpunkt. Die Länge des Vektors $\vec v$ notiert man als $|\vec v|$. In kartesischen Koordinaten kann man die Länge eines Vektors mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen:

$|\vec{v}| = \sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2}$ in der Ebene

und

$|\vec{v}| = \sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2}$ im Raum.

Einen Vektor der Länge 1 bezeichnet man als Einheitsvektor.

Rechenoperationen

Addition sowie Subtraktion

Die Summe der beiden Vektoren

$\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

berechnet sich als:

$\vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3\end{pmatrix}$.

Die Vektoraddition kann man graphisch interpretieren, indem man den Startpunkt des zweiten Vektors mittels Parallelverschiebung auf den Endpunkt des ersten Vektors verschiebt. Der Pfeil vom Startpunkt des ersten Vektors bis zum Endpunkt des zweiten Vektors repräsentiert den Ergebnisvektor:

Aus je zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ lässt sich ein Parallelogramm bilden, dessen eine Diagonale der Summe beider Vektoren entspricht. In der Physik verwendet man diese Konstruktion beim Kräfteparallelogramm.

Für die Addition von Vektoren gilt das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz.

Die Differenz dieser beiden Vektoren ist:

$\vec{a}-\vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3\end{pmatrix}$.

Die geometrische Interpretation der Subtraktion von zwei Vektoren ist: Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man den Startpunkt des Gegenvektors des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten Vektors anschließt. Geometrisch entspricht die Differenz dem Verbindungsvektor vom Endpunkt des zweiten Vektors zum Endpunkt des ersten Vektors.

Multiplikation mit einem Skalar

Vektoren können mit reellen Zahlen (oft Skalare genannt, um sie von Vektoren unterscheiden zu können) multipliziert werden (Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation genannt):

$r\vec{a} = r \, \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix}$

Die Länge des resultierenden Vektors ist $|r|\cdot|\vec{a}|$. Wenn der Skalar positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche, ist er negativ, in die Gegenrichtung.

Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz:

$r\cdot(\vec a + \vec b) = r\vec a + r\vec b$

Skalarprodukt

→ Hauptartikel: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (oder innere Produkt) zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$, so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird notiert als $\vec a\cdot\vec b$ oder $\left\langle {\vec a,\vec b} \right\rangle$ und ist

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\,|\vec{b}|\,\cos\theta$,

wobei θ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (siehe auch Kosinus). Stehen die zwei Vektoren rechtwinkelig zueinander, so ist das Skalarprodukt Null: $\cos \tfrac{\pi}{2} =0 \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt als

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors

$\vec{a}\cdot\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = a_1^2+a_2^2+a_3^2$

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch als Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der senkrechten Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor verstehen. Daher ist das Skalarprodukt zweier orthogonal aufeinander stehender Vektoren immer 0. Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht, zum Beispiel um die Arbeit zu berechnen, wenn Kraft und Weg nicht in derselben Richtung verlaufen.

Für das Skalarprodukt gelten das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz, nicht aber – wie bei der Multiplikation zweier Skalare – das Assoziativgesetz.

Kreuzprodukt

→ Hauptartikel: Kreuzprodukt

Veranschaulichung des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) $\vec a\times\vec b$ (gesprochen als „a Kreuz b“) zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Ebene steht. Die Länge $|\vec a\times\vec b|$ dieses Vektors ist gleich der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten $\vec a$ und $\vec b$, also $|\vec a\times\vec b|=|a|\cdot |b|\cdot |\sin\theta|$, wobei θ wieder den von beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel bedeutet.

Länge/Norm eines Vektors

Im zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raum kann die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$|\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2} \quad \forall a\in\mathbb{R}^2$

und

$|\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \quad \forall a\in\mathbb{R}^3.$

Die Länge ist damit durch die Wurzel des Skalarprodukts gegeben:

$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$.

Diese Längenfunktion ordnet jedem Vektor eine nichtnegative Zahl zu. Vektorräume mit einer solchen Zuordnung, die bestimmte Axiome erfüllt, heißen in der Mathematik normierte Räume, die Zuordnung selber heißt eine Norm. Allgemein gilt: Falls ein Skalarprodukt in einem Vektorraum definiert ist, dann definiert die Wurzel aus diesem Skalarprodukt eine Norm.

Verallgemeinerungen

Die Definition des Vektors in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes ist eine viel umfassendere, die neben den „herkömmlichen“, geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist jeder Vektor auch ein Tensor. Auch alle benannten Größen („Zahlenwert mit Einheit“, z. B. Längenangaben mit der Einheit Meter; Geldbeträge mit Einheit € usw.) sind in diesem Sinn Vektoren. (Dabei kann man durch Übergang zu einer anderen Einheit, z. B. von Euro zu Dollar, zwar die Zahlenwerte verändern; die Vektoren als Ganzes aber bleiben ungeändert.)

In der Differentialgeometrie, der klassischen Physik und der Technik bezieht sich der Ausdruck Vektor normalerweise auf einen geometrischen Vektor des euklidischen Raumes, der durch einen Betrag, eine Richtung und eine Orientierung gegeben ist. Beispiele sind Geschwindigkeit, Impuls, Kraft und Beschleunigung. Nach dieser Definition ist ein Vektor ein Tensor erster Stufe. Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich auf solche Vektoren, allgemeine Eigenschaften finden sich unter Vektorraum.

Vektoren kann man skalare Größen wie Abstand, Energie, Ladung, Arbeit oder Masse gegenüberstellen, die zwar einen Betrag, aber keine Richtung und keine Orientierung haben.

Vektoren in der Physik

Mit Vektoren sind in der Physik häufig Vektoren eines drei- oder vierdimensionalen Vektorraumes gemeint. Zum Beispiel werden der Ort, die Geschwindigkeit, der Impuls, die Beschleunigung, die Kraft, die Winkelgeschwindigkeit, der Drehimpuls, die elektrische und die magnetische Feldstärke durch Vektoren in dreidimensionalen Räumen angegeben. Ein Ereignis, die Vierergeschwindigkeit, die Viererbeschleunigung und der Viererimpuls werden durch vierdimensionale Vektoren angegeben.

Das Kreuzprodukt von Vektoren wird immer verwendet, wenn eine Wechselwirkung der Drei-Finger-Regel bzw. Korkenzieherregel folgt, wie beispielsweise bei Wechselwirkungen von elektrischen und Magnetfeldern (siehe Lorentzkraft).

Für den physikalischen Vektorbegriff ist auch das Transformationsverhalten unter der Isometriegruppe der entsprechenden Metrik von Bedeutung. Dabei wird der dreidimensionale Raum als euklidischer Raum verstanden, während die vierdimensionale Raumzeit als Minkowski-Raum mit der entsprechenden Metrik aufgefasst wird. Werden diese Räume als Mannigfaltigkeiten aufgefasst, so sind Vektoren als kontravariante Tensoren erster Stufe zu verstehen, was das geforderte Transformationsverhalten festlegt. Die zugehörigen Isometriegruppen sind in drei Dimensionen die Drehgruppe und im Minkowski-Raum die Lorentzgruppe. Dabei sind nicht alle Vektoren im Dreidimensionalen als Teile von Vierervektoren aufzufassen. Der Drehimpuls transformiert beispielsweise unter Lorentztransformationen nicht wie ein Teil eines Vierervektors, sondern zusammen mit dem anfänglichen Energieschwerpunkt wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors. Ebenso transformieren die elektrische und magnetische Feldstärke wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors.

Vielteilchensysteme mit n Teilchen beschreibt man mit Vektoren in 3-n-dimensionalen Vektorräumen auf die die dreidimensionale Drehgruppe getrennt wirkt.

Unterscheiden sich die Maßeinheiten zweier Vektoren, so ist ihre Addition nicht definiert: Sie sind Elemente verschiedener Räume, auch wenn sie sich auf gleiche Art drehen oder unter orientierungstreuen Lorentztransformationen verändern.

Polare und axiale Vektoren

Je nach Transformationsverhalten unter Spiegelungen des Ortes unterscheidet man zwischen polaren und axialen Vektoren, in der älteren Literatur auch Schub- und Drehvektoren^[7] genannt: In polaren Vektorräumen geht jeder Vektor bei der räumlichen Spiegelung in sein Negatives über, Axialvektoren dagegen bleiben dabei unverändert. So ändern beispielsweise der Ort, die Geschwindigkeit, der Impuls und das elektrische Feld bei räumlicher Spiegelung ihr Vorzeichen, nicht aber das magnetische Feld. Bei solchen Transformationen gehen Lösungen $\vec x(t)$ der Bewegungsgleichungen in elektromagnetischen Feldern

$\frac{\mathrm d \vec p(t)}{\mathrm d t}=q \,\bigl(\vec E(t,\vec x(t)) + \vec v(t) \times \vec B(t,\vec x(t)\bigr)$

bei Spiegelung in Lösungen der Bewegungsgleichungen in transformierten elektromagnetischen Feldern über.

Polare und axiale Vektoren sind wegen ihres unterschiedlichen Transformationsverhaltens Elemente verschiedener Vektorräume. Das Kreuzprodukt muss dabei als bilineare Abbildung zweier Vektorräume in einen dritten angesehen werden. Dass es sich um verschiedene Vektorräume handelt, ist meist schon an den Maßeinheiten sichtbar.

Literatur

• Kurt Bohner, Peter Ihlenburg, Roland Ott: Mathematik für berufliche Gymnasien – Lineare Algebra – Vektorielle Geometrie. Merkur, Rinteln 2004. ISBN 3-8120-0552-2
• Klaus Jänich: Lineare Algebra. 10. Auflage. Springer, Berlin 2004. ISBN 3-540-40207-1.
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. 11. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8

Weblinks

 Wiktionary: Vektor – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Commons: Vektoren – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Vektorrechnung, Ronny Harbich
• Javaapplet zur Veranschaulichung des Kreuzprodukts
• Der mathematische Begriff „Vektor“
• mathe online: Vektoren
• Geschichte des Vektors (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ [W.Gellert, H.Küstner, M.Hellwich, H.Kästner]; Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S.545.
2. ↑ Hermann Günter Graßmann: Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert. O. Wigand, 1844.
3. ↑ Josiah Willard Gibbs: Quaternions and the Ausdehnungslehre»Sammelwerk=Nature. 44, Nr. 1126, 1891, S. 79-82, doi:10.1038/044079b0.
4. ↑ W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions. Hodges and Smith, Dublin 1853.
5. ↑ W. R. S. Hamilton: Elements of Quaternions: Vol.: 1. Longmans, Green & Company, 1866 (Google Books).
6. ↑ W. R. S. Hamilton, C. J. Joly: Elements of quaternions.Vol.: 2. Longmans, Green & Company, 1901.
7. ↑ Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd.I, Leipzig 1954, S.577-578.