Variation der Konstanten

Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

Das Verfahren wurde vom Mathematiker Joseph-Louis Lagrange entwickelt.

Motivation

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Man betrachte die skalare lineare Differentialgleichung erster Ordnung^[1]

$y'(x) = A(x)y(x) + b(x)\ .$

Weiter sei F eine Stammfunktion von A, z. B.

$F(x) := \int_{x_0}^xA(t){\rm d}t\ .$

Dann ist

$\{y(x) = Ce^{F(x)}\ |\ C \in \mathbb{R}\}$

die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung y'(x) = A(x)y(x). Als Ansatz für die Lösung des inhomogenen Problems setze man

$y(x) = C(x)e^{F(x)}\ ,$

d. h., man lässt die Konstante C variieren. Dies ergibt eine eindeutige Zuordnung zwischen den Funktionen y und C, denn exp(F(x)) ist eine stets positive, stetig differenzierbare Funktion. Die Ableitung dieser Ansatzfunktion ist

$y'(x) = C(x)A(x)e^{F(x)} + C'(x)e^{F(x)} = A(x)y(x) + C'(x)e^{F(x)} \ .$

Also löst y die inhomogene Differentialgleichung

$y'(x) = A(x)y(x) + b(x) \$

genau dann, wenn

$\ C'(x) = b(x)e^{-F(x)}$

gilt. Beispielsweise ist

$C(x) := \int_{x_0}^xb(t)e^{-F(t)}{\rm d}t$

eine solche Funktion und somit

$y_{sp}(x) := e^{F(x)}\cdot\int_{x_0}^xb(t)e^{-F(t)}{\rm d}t$

die spezielle Lösung mit y_sp(x₀) = 0. Also ist

$\left\{y(x) = e^{F(x)}\cdot\left[\int_{x_0}^xb(t)e^{-F(t)}{\rm d}t + C\right]\ |\ C \in \mathbb{R}\right\}$

die Menge aller Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung y'(x) = A(x)y(x) + b(x).

Beispiel

Liegt an einer Spule mit der Induktivität L und dem elektrischen Widerstand R eine Gleichspannung U₀ an, so gilt für die Spannung an der Spule

$U(t)=U_0-L\dot I(t). \!\,$

Nach dem ohmschen Gesetz gilt daher

$I(t) = \frac{U(t)}{R} = \frac{U_0-L\dot I(t)}{R}. \!\,$

Es handelt sich also um eine gewöhnliche, inhomogene, lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die nun mithilfe des Verfahrens der Variation der Konstanten gelöst werden soll.

Die zugehörige homogene Gleichung lautet

$I_h(t)=-\frac{L}{R}\dot I_h(t).\!\,$

Daraus folgt, dass

$I_h(t)=c e^{-\frac{R}{L}t}.\!\,$

für jede Konstante c eine Lösung des homogenen Problems ist.

Als Ansatz für die Lösung der inhomogenen Gleichung ersetze man die Konstante c durch einen variablen Ausdruck c(t). Man setzt also

$I(t) := c(t) e^{-\frac{R}{L}t}$

und versucht, eine differenzierbare Funktion c so zu bestimmen, dass I die inhomogene Differentialgleichung erfüllt. Es folgt

$\begin{align} \frac{U_0-L\dot I(t)}{R} &= \frac{U_0-L(\dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} - c(t)\frac{R}{L}e^{-\frac{R}{L}t})}{R} \\ & = \frac{U_0-L \dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} + c(t)Re^{-\frac{R}{L}t}}{R} \\ & = \frac{U_0}{R}- \frac{L}{R} \dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} + c(t) e^{-\frac{R}{L}t}\\ & = \frac{U_0}{R}- \frac{L}{R} \dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} + I(t). \end{align}$

Also ist die Differentialgleichung genau dann erfüllt, wenn

$\frac{U_0}{R}- \frac{L}{R} \dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} = 0$

ist, also gleichbedeutend mit $\textstyle \dot c(t) = \frac{U_0}{L} e ^{\frac{R}{L}t}$, woraus man mittels Integration $\textstyle c(t) = \frac{U_0}{R}e^{\frac{R}{L}t} + d$ erhält. Somit wird die inhomogene Differentialgleichung durch

$I(t) = \frac{U_0}{R}+d e^{-\frac{R}{L}t}$

gelöst. Die Konstante d kann man noch aus Anfangsbedingungen bestimmen. Beispielsweise ergibt sich für I(0) = 0 die Lösung $\textstyle I(t) = \frac{U_0}{R}-\frac{U_0}{R}e^{-\frac{R}{L}t}.$

Inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Das obige Verfahren lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern^[2]:

Formulierung

Seien $A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ und $b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ stetige Funktionen und $\Phi(x) = (y_1(x)\ |\ \cdots\ |\ y_n(x))$ eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems y'(x) = A(x)y(x) sowie Φ_k(x) diejenige Matrix, die aus Φ(x) entsteht, indem man die k-te Spalte durch b(x) ersetzt. Dann ist

$y_{sp}(x) := \sum_{k=1}^nc_k(x)y_k(x)$

mit

$c_k(x) := \int_{x_0}^x\frac{\det \Phi_k(s)}{\det \Phi(s)}{\rm d}s$

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems y'(x) = A(x)y(x) + b(x), y(x₀) = 0.

Beweis

Setze

$y_{sp}(x) := \Phi(x)\int_{x_0}^x\Phi(s)^{-1}b(s){\rm d}s\ .$

Es ist y_sp(x₀) = 0, und wegen Φ'(x) = A(x)Φ(x) sieht man durch Differenzieren, dass y_sp die Differentialgleichung y_sp'(x) = A(x)y_sp(x) + b(x) erfüllt. Nun löst

$a(s) := \Phi^{-1}(s)b(s) \in \mathbb{R}^n$

für festes s das lineare Gleichungssystem

$\Phi(s)\cdot a(s) = b(s)\ .$

Nach der cramerschen Regel ist somit

$a_k(s) = \frac{\det \Phi_k(s)}{\det \Phi(s)}\ ,\ k = 1, \ldots, n\ .$

Also gilt

$y_{sp}(x) = \int_{x_0}^x\Phi(x)a(s){\rm d}s = \sum_{k=1}^n\left[\int_{x_0}^x\frac{\det \Phi_k(s)}{\det \Phi(s)}{\rm d}s\right]y_k(x)\ .$

Spezialfall: Resonanzfall

Falls die Inhomogenität b selber Lösung des homogenen Problems ist, d. h. b'(x) = A(x)b(x), so bezeichnet man dies als Resonanzfall. In diesem Fall ist

$\ y_{sp}(x) := (x-x_0)b(x)$

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems y'(x) = A(x)y(x) + b(x), y(x₀) = 0.

Inhomogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.^[3]

Formulierung

Seien $a_0, \ldots, a_{n-1}, b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ stetige Funktionen und Φ(x) eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems $\textstyle y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}(x)$, deren erste Zeile $(y_1(x)\ |\ \cdots\ |\ y_n(x))$ lautet, sowie Φ_k(x) diejenige Matrix, die aus Φ(x) entsteht, indem man die k-te Spalte durch $\textstyle \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(x)\\\end{pmatrix}$ ersetzt. Dann ist

$y_{sp}(x) := \sum_{k=1}^nc_k(x)y_k(x)$

mit

$c_k(x) := \int_{x_0}^x\frac{\det \Phi_k(s)}{\det \Phi(s)}{\rm d}s$

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems $\textstyle y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}(x) + b(x)$, y(x₀) = 0.

Beweis

Man betrachte zunächst das hierzu korrespondierende Differentialgleichungssystem erster Ordnung, bestehend aus n Gleichungen

$\ Y'(x) = A(x)Y(x) + B(x)$ mit $A(x) := \begin{pmatrix} 0&1&&0\\ &\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ a_0(x)&a_1(x)&\cdots&a_{n-1}(x)\\ \end{pmatrix}\ ,\ B(x) := \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(x)\\\end{pmatrix}\ .$

Es gilt: y(x) löst die skalare Gleichung n-ter Ordnung genau dann, wenn $\textstyle Y(x) := \begin{pmatrix} y(x)\\y'(x)\\ \vdots\\ y^{(n-1)}(x)\\ \end{pmatrix}$ Lösung obigen Systems erster Ordnung ist. Per definitionem ist Φ eine Fundamentalmatrix für dieses System erster Ordnung. Darauf wende man schließlich das oben bewiesene Verfahren der Variation der Konstanten an.

Alternative: Grundlösungsverfahren

Im Fall konstanter Koeffizienten ist es gelegentlich von Vorteil, das Grundlösungsverfahren zur Konstruktion einer speziellen Lösung zu verwenden: Ist y_h diejenige homogene Lösung von $\textstyle y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_ky^{(k)}(x)$, welche

$y_h^{(k)}(x_0) = 0\ ,\ k = 0, \ldots, n-2\ ,\ y_h^{(n-1)}(x_0) = 1$

erfüllt, dann ist

$y_{sp}(x) := \int_{x_0}^xy_h(x_0+x-t)b(t){\rm d}t$

diejenige spezielle Lösung von $\textstyle y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_ky^{(k)}(x) + b(x)$ mit y_sp(x₀) = 0.

Beweis

Durch Differenzieren überprüft man

$y_{sp}^{(k)}(x) = \int_{x_0}^xy_h^{(k)}(x_0+x-t)b(t){\rm d}t\ ,\ k = 0, \ldots, n-1$

und

$y_{sp}^{(n)}(x) = b(x) + \int_{x_0}^xy_h^{(n)}(x_0+x-t)b(t){\rm d}t\ .$

Es ergibt sich

$y_{sp}^{(n)}(x) - \sum_{k=0}^{n-1}a_ky_{sp}^{(k)}(x) = b(x) + \int_{x_0}^x\left[y_h^{(n)}-\sum_{k=0}^{n-1}a_ky_h^{(k)}\right](x_0+x-t)b(t){\rm d}t = b(x)\ .$

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0, §2, Abschnitt II
2. ↑ Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0, §16
3. ↑ Differentialgleichungen n-ter Ordnung. In: Otto Forster: Analysis II. Vieweg Verlag, 1977, ISBN 3-499-27031-5, Kapitel II, §12.