Torricellis Trompete

Torricellis Trompete
Redundanz Die Artikel Hyperbolischer Kegel und Gabriels Horn überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Beteilige dich dazu an der Diskussion über diese Überschneidungen. Bitte entferne diesen Baustein erst nach vollständiger Abarbeitung der Redundanz. RokerHRO 21:12, 12. Apr. 2009 (CEST)
3D-Modell von Gabriels Horn

Gabriels Horn (auch Torricellis Trompete) ist ein von Evangelista Torricelli entdeckter Körper, der eine unendliche Oberfläche, aber ein endliches Volumen besitzt. Der Name leitet sich zum einen aus der einem Blasinstrument ähnelnden Form, zum anderen aus der Tradition her, den Erzengel Gabriel als den Engel anzusehen, der das Horn bläst, um das Jüngste Gericht anzukündigen, wobei dabei die Unendlichkeit mit der Göttlichkeit assoziiert wird.

Mathematische Definition

Das linke Ende von Gabriels Horn

Gabriels Horn ergibt sich, wenn man den Graphen der Funktion y= \frac{1} {x} mit dem Definitionsbereich x \ge 1 (um die Polstelle bei x = 0 zu vermeiden) um die x-Achse rotieren lässt. Volumen (V) und Fläche (A) dieses Rotationskörpers berechnen sich auf folgende Weise:

V = \pi \int_{1}^{\infty} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi
A = 2\pi \int_1^\infty \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x \ge 2\pi \int_1^\infty \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x = \infty

Um das nachvollziehen zu können, muss man wissen, dass für alle \!\,f(x) ={x}^{-n} mit n \geq 2 das uneigentliche Integral von 1 bis \infty existiert, das heißt gegen einen endlichen Wert konvergiert:

\int_{1}^{\infty}x^{-n}\mathrm{d}x = \left[\frac{1}{1 - n} x^{1-n}\right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{n - 1}

Dahingegen ist die Fläche unter der Kurve f(x) = \frac{1}{x} unbeschränkt, denn die Stammfunktion dieser Kurve ist der natürliche Logarithmus:

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x = \left[\ln x \right]_{1}^{\infty} = \infty

Erläuterung des Paradoxons

Einerseits bräuchte man unendlich viel Farbe, um die Innen- oder Außenfläche des Horns vollständig zu bedecken, andererseits könnte man das Innere des Horns mit einer endlichen Menge Farbe füllen. Die Auflösung dieses scheinbaren Paradoxons besteht darin, dass zum Bestreichen der gesamten Innenfläche des Körpers eine Farbschicht mit unendlich kleiner Dicke nötig wäre, die kein Volumen hätte.

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Trompete (Begriffsklärung) — Trompete steht für Trompete, Blechblasinstrument Trompete, ein Orgelregister Trompete (Straßenbau), Bauform eines Autobahndreiecks Trompete (Wuppertal), Wohnplatz in Wuppertal Jericho Trompete, Flugzeugsirene Torricellis Trompete, von Torricelli… …   Deutsch Wikipedia

  • Gabriels Horn — 3D Modell von Gabriels Horn Gabriels Horn (auch Torricellis Trompete) ist ein von Evangelista Torricelli entdeckter Körper, der eine unendliche Oberfläche, aber ein endliches Volumen besitzt. Der Name leitet sich zum einen aus der einem… …   Deutsch Wikipedia

  • Evangelista Torricelli — (* 15. Oktober 1608 in Faenza; † 25. Oktober 1647 in Florenz) war ein italienischer Physiker und Mathematiker. Leben Torricelli stammte aus …   Deutsch Wikipedia

  • Gabriel's Horn — (also called Torricelli s trumpet) is a figure invented by Evangelista Torricelli which has infinite surface area, but finite volume. The name refers to the tradition identifying the archangel Gabriel with the angel who blows the horn to announce …   Wikipedia

  • Liste von Physikern — Die Liste von Physikern ist alphabetisch sortiert und enthält nur Forscher, die wesentliche Beiträge zum Fachgebiet geleistet haben. Die Liste soll neben den Lebensdaten das Fachgebiet des Forschers nennen und wenige Stichworte zu den Aspekten… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”