Todd-Coxeter-Algorithmus

Der Todd-Coxeter-Algorithmus ist ein Algorithmus in der Gruppentheorie, der nach den beiden britischen Mathematikern John Arthur Todd und Harold Scott MacDonald Coxeter benannt ist.

Sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Der Todd-Coxeter-Algorithmus ist eine Methode, um die Nebenklassen von H in G abzuzählen. Zusätzlich lässt sich durch den Algorithmus auch die Operation von G auf der Menge der Nebenklassen bestimmen.

Durch den Todd-Coxeter-Algorithmus gelangt man mit einer endlichen Zahl von Schritten ans Ziel, die Rechenzeit ist jedoch nicht vorhersagbar.

Für eine Berechnung müssen sowohl die Gruppe G wie die Untergruppe H explizit angegeben sein. Daher nehme man an, G sei durch die Erzeugenden x₁,...,x_m und die Relationen r₁,...,r_k konkret dargestellt:

$G= \left\langle x_1,... ,x_m; r_1,... , r_k \right\rangle$.

Damit ist G als Faktorgruppe F / N realisiert, wobei F die freie Gruppe auf der Menge {x₁,...,x_m} und N ein Normalteiler von F ist, der {r₁,...,r_k} enthält. Weiterhin sei vorausgesetzt, dass die Untergruppe H durch eine Menge von Wörtern in der freien Gruppe gegeben sei: {h₁,...,h_s}, deren Bilder in G die Untergruppe H erzeugen.

Beispielhaft sei die Gruppe G durch die drei Erzeugenden x,y,z und die Relationen x³,y²,z²,xyz definiert und als Untergruppe H die von z erzeugte zyklische Untergruppe:

$G= \left\langle x,y,z;x^3,y^2,z^2,xyz \right\rangle$, H erzeugt von {z}

Da die Operationen auf Nebenklassen bestimmt werden sollen und sich diese als Permutationsdarstellung beschreiben lassen, muss festgesetzt werden, wie diese explizit angegeben werden sollen. Es sei festgelegt, dass G von rechts operiert. Die Menge der Rechtsnebenklassen Hg sei als $\mathcal{K}$ bezeichnet. Um die Operation von G auf $\mathcal{K}$ explizit anzugeben, sei die durch die erzeugenden Elemente x,y,z induzierte Permutation beschrieben.

Für die Operationen auf $\mathcal{K}$ gelten folgende Regeln:

1. Jede Erzeugende (hier: x,y,z) operiert als Permutation.
2. Die Relation (hier: x³,y²,z²,xyz) operiert trivial.
3. Die Erzeugenden von H (hier:z) lassen die Nebenklasse H1 fest.
4. Die Operation auf der Menge der Nebenklassen ist transitiv.

Die erste Regel ist eine allgemeine Eigenschaft von Gruppenoperationen, die aus der Invertierbarkeit von Gruppenelementen folgt. Die zweite Regel gilt, da die Relation in G das Element 1 repräsentiert, und eigentlich die Gruppe G operiert. Die Regeln 3 und 4 sind spezielle Eigenschaften der Operation auf Nebenklassen.

Beispiel

Animation eines Tetraeders

Man betrachte die Tetraedergruppe T der zwölf Drehsymmetrien eines regelmäßigen Tetraeders. Die Drehungen um den Winkel $\tfrac{2 \pi}{3}$ um zwei unterschiedliche Eckpunkte im bzw. gegen den Uhrzeigersinn werden mit y bzw. x bezeichnet. Daraus resultiert die Drehung um den Mittelpunkt einer Kante xy = z – das Produkt ist von rechts nach links zu lesen – um π. Es gelten folgende Relationen:

$x^3=1, \quad y^3=1, \quad xyxy =1.$

Es wird zu zeigen sein, dass die genannten Relationen T definieren. Dafür betrachte man die Gruppe $G=\left\langle x,y;x^3,y^3,xyxy \right\rangle$. Da die Relationen in der Tetraedergruppe erfüllt sind, liefert die Abbildungseigenschaft von Faktorgruppen einen Homomorphismus $\varphi:G \to T$.Da x und y die Gruppe T erzeugen, ist der Homomorphismus surjektiv. Um nachzuweisen, dass φ injektiv ist, muss gezeigt werden, dass die Ordnung der Gruppe G gleich 12 ist.

Um das zu erreichen, könnte man die Nebenklassen der trivialen Untergruppe H = 1 zählen und so die Ordnung von G ermitteln. Allerdings wäre das nicht sehr effizient. Günstiger ist es, eine nichttriviale Untergruppe H von G zu benutzen, wie beispielsweise diejenige, die von y erzeugt wird. Diese Untergruppe H hat wegen y³ = 1 höchstens die Ordnung 3. Es reicht damit zu zeigen, dass die Ordnung von H sogar gleich 3 und der Index von H in G gleich 4 ist. Das würde folgen, dass G die Ordnung 12 hat.

Laut Algorithmus wird die Permutationsdarstellung von G bestimmt, welche die Operation auf die Menge der Nebenklassen beschreibt. Als Bezeichnung für die Nebenklassen verwendet man beispielsweise Nummer 1,2,3,..., wobei 1 für die Nebenklasse H1 reserviert ist. Da man die Anzahl der Nebenklassen noch nicht kennt, kann man noch nicht entscheiden, wie viele Nummern benötigt werden. Im Laufe des Verfahrens werden schrittweise neue Nummern eingeführt, sobald sie gebraucht werden.

Das Verfahren liefert folgende Tabelle:

$x\ x\ x$				$y\ y\ y\$			$x\ y\ x\ y\$
1	2	3	1	1	1	1	2	3	1	1
2	3	1	2	3	4	2	3	4	4	2
3	1	2	3	4	2	3	1	1	2	3
4	4	4	4	2	3	4	4	2	3	4

Aus dem Verfahren ergibt sich die zugehörige Permutationsdarstellung

$x=(123), \quad y=(234).$

Da vier Ziffern vorkommen, ist der Index von H in G gleich 4. y hat die Ordnung 3, weil wegen der Relation y³ = 1 die Ordnung höchsten gleich 3 sein kann und sie ist mindestens gleich 3, weil die y zugeordnete Permutation die Ordnung 3 hat. Damit ist die Ordnung von G gleich 12. Die Permutationsdarstellung liefert außerdem einen Isomorphismus von T auf die von der Permutation erzeugten Gruppe. Man kann sich davon überzeugen, dass dies die alternierende Gruppe A₄ ist. Damit ist die Tetraedergruppe T isomorph zu A₄.

Literatur

• Michael Artin: Algebra, Birkhäuser Verlag, 1993, ISBN 3-7643-2927-0

Weblinks

• Aufsatz zum Todd-Coxeter-Algorithmus (französisch)