Tensorverjüngung

Tensorverjüngung

Die Tensorverjüngung ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra. Sie verallgemeinert das Konzept der Spur für Tensoren, die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind.

Definition

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei

T^r_s (V) := \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{s\text{-mal}}

der Tensorraum der r-fach kontravarianten und s-fach kovarianten Tensoren (kurz: (r,s)-Tensoren) über V.

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: (k,l)-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung

 C^k_l: T^{r}_{s} (V) \rightarrow T^{r-1}_{s-1}(V)

mit  1 \le k \le r und 1 \le l \le s , welche durch

 v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s} \mapsto
 \xi_l (v_k) (v_1 \otimes \cdots \otimes v_{k-1} \otimes v_{k+1} \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{l-1} \otimes \xi_{l+1} \otimes \cdots \otimes \xi_{s})

definiert werden kann. Dabei ist  v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s} natürlich ein Element von T^r_s(V). Nicht jedes Element von T^r_s(V) ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man n: = r + s, so wird also aus einem Tensor n-ter Stufe ein Tensor der Stufe n − 2.

Beispiele

  • Interpretiert man eine Matrix als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix  A \in \operatorname {End}(V) \cong V \otimes V^* als Linearkombination
    A = \sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \,v_{i} \otimes \xi_{j}
    darstellt. Hier bilden die vi eine Basis von V und die ξj die dazu duale Basis von V * . Wendet man nun die Funktion C^1_1 an, so erhält man
    C^1_1(A) = C^1_1(\sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \,v_{i} \otimes \xi_{j}) = \sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \delta_{ij} = \sum_i \lambda^i_i = \operatorname {Spur}(A).
    Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.
  • Man erhält aus dem riemannschen Krümmungstensor R^l_{ijk} durch Verjüngung den Ricci-Tensor R_{ik} = R^j_{ijk}.

Literatur

  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications., Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 0-201-10168-8

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