Teleskopsumme

Teleskopsumme

Eine Teleskopsumme ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben. Diesen Vorgang nennt man Teleskopieren einer Summe. Der Begriff ist abgeleitet vom Ineinanderschieben zweier oder mehrerer zylindrischer Rohre.

Zusammenschieben eines Teleskops - Namensgeber der Teleskopsumme

Falls (a_k)_{k\in\mathbb{N}}\, eine Folge ist, so ist

\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})

eine Teleskopsumme. Kann man eine Summe als Teleskopsumme schreiben, vereinfacht sich ihre Auswertung:

\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}.

Eine Reihe, deren Teilsummen Teleskopsummen sind, heißt Teleskopreihe. Eine Teleskopreihe

\sum_{i=1}^\infty(a_i-a_{i+1})

ist genau dann konvergent, wenn (a_k)_{k\in\mathbb{N}}\, gegen einen Grenzwert g\, konvergiert. Die Summe der Reihe ist dann gleich a_1-g\,.

Analoges gilt für ein Produkt:

\prod_{i=1}^n \frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot\frac{a_4}{a_3}\cdots
\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_{n+1}}{a_1}

ist sozusagen ein Teleskopprodukt.

Komplizierter ist die Situation, wenn das Teleskop über drei (oder auch mehr) aufeinanderfolgende Glieder läuft (siehe Beispiel).

In der Zahlentheorie stellen Teleskopsummen ein wichtiges Hilfsmittel dar.

Beispiele

(x-1)\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n(x^{k+1}-x^k)=x^{n+1} - 1.
  • Teleskopsummen sind oft ein wenig versteckt und lassen sich beispielsweise durch Partialbruchzerlegung erkennen:
Die Partialbruchzerlegung von \frac1{k(k+1)} erhält man beispielsweise mittels
\frac1{k(k+1)} =\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.
Daraus folgt
\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}.
  • dreifache Teleskopsumme:
(x-1)^2\sum_{k=1}^n kx^{k-1} = \sum_{k=1}^n(kx^{k+1} - 2kx^k + kx^{k-1}) = \sum_{k=1}^n [kx^{k+1}-(k-1)x^k] - \sum_{k=1}^n [(k+1)x^k-kx^{k-1}] = nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1.
Alternativ folgt dies für x\neq1 durch Differentiation aus dem ersten Beispiel mit Hilfe der Quotientenregel:
\sum_{k=1}^n kx^{k-1}
 = \frac{\rm d}{{\rm d}x}\sum_{k=0}^n x^k
 = \frac{\rm d}{{\rm d}x}\frac{x^{n+1}-1}{x-1}
 = \frac{(n+1)x^n(x-1) - (x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}
 = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}
.
Dies ist ein wichtiges Anwendungsbeispiel der Differentialrechnung als Kalkül bei der Termumformung.

Literatur

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Teleskopprodukt — Eine Teleskopsumme ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben. Diesen Vorgang nennt man Teleskopieren einer Summe. Der Begriff ist… …   Deutsch Wikipedia

  • Teleskopreihe — Eine Teleskopsumme ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben. Diesen Vorgang nennt man Teleskopieren einer Summe. Der Begriff ist… …   Deutsch Wikipedia

  • Benford'sches Gesetz — Das benfordsche Gesetz, auch Newcomb Benford’s Law (NBL) beschreibt eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Ziffernstrukturen von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern. Es lässt sich etwa in Datensätzen über… …   Deutsch Wikipedia

  • Benfords Gesetz — Das benfordsche Gesetz, auch Newcomb Benford’s Law (NBL) beschreibt eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Ziffernstrukturen von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern. Es lässt sich etwa in Datensätzen über… …   Deutsch Wikipedia

  • Benfordsche Verteilung — Das benfordsche Gesetz, auch Newcomb Benford’s Law (NBL) beschreibt eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Ziffernstrukturen von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern. Es lässt sich etwa in Datensätzen über… …   Deutsch Wikipedia

  • Gesetz von Benford — Das benfordsche Gesetz, auch Newcomb Benford’s Law (NBL) beschreibt eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Ziffernstrukturen von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern. Es lässt sich etwa in Datensätzen über… …   Deutsch Wikipedia

  • Summationsvariable — Dieser Artikel befasst sich in erster Linie mit der Summe als dem Ergebnis einer Addition. In der Mengenlehre wird der Begriff auch als eine ältere Bezeichnung für die Vereinigungsmenge benutzt. Ferner siehe auch direkte Summe. Inhaltsverzeichnis …   Deutsch Wikipedia

  • Summensymbol — Dieser Artikel befasst sich in erster Linie mit der Summe als dem Ergebnis einer Addition. In der Mengenlehre wird der Begriff auch als eine ältere Bezeichnung für die Vereinigungsmenge benutzt. Ferner siehe auch direkte Summe. Inhaltsverzeichnis …   Deutsch Wikipedia

  • Summenzeichen — Dieser Artikel befasst sich in erster Linie mit der Summe als dem Ergebnis einer Addition. In der Mengenlehre wird der Begriff auch als eine ältere Bezeichnung für die Vereinigungsmenge benutzt. Ferner siehe auch direkte Summe. Inhaltsverzeichnis …   Deutsch Wikipedia

  • Ziffernhäufigkeit — Das benfordsche Gesetz, auch Newcomb Benford’s Law (NBL) beschreibt eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Ziffernstrukturen von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern. Es lässt sich etwa in Datensätzen über… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”