Tau-Funktion

Tau-Funktion

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie gibt die Teileranzahlfunktion an, wieviele Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Zahl selbst und die Eins mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion wird üblicherweise mit d oder τ bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Für eine natürliche Zahl n ist

d(n)=\tau(n)=\#\{d\colon 1\leq d\leq n\ \mathrm{und}\ d\mid n\}.

Die ersten Werte sind:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Teiler von n 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
d(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Eigenschaften

n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},
so gilt[1]
d(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1).
d(mn) = d(m)\cdot d(n).
Aufgrund dieser Eigenschaft bezeichnet man die Teileranzahlfunktion als (multiplikative) zahlentheoretische Funktion.
  • Eine Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn d(n) = 2 ist.
  • Eine Zahl n ist genau dann eine Quadratzahl, wenn d(n) ungerade ist.
  • Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:[2]
\zeta(s)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{d(n)}{n^s} (für \operatorname{Re}\,s>1).

Asymptotik

Im Mittel ist d(n)\approx\log n, präziser: Es gibt Konstanten \beta\leq1/2, so dass[3]

\sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(x^\beta)

gilt. (Dabei sind „O“ ein Landau-Symbol und γ die Euler-Mascheroni-Konstante.)

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl d\leq x ein Teiler von etwa \frac xd Zahlen n\leq x ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

x\cdot\sum_{d=1}^{\lfloor x\rfloor}\frac 1d\approx x\log x.

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert β = 1 / 2 wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen;[4] die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, x1 / 3logx)[5] und J. van der Corput (1922, β = 33 / 100)[6] angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass \beta\geq1/4 gelten muss.[7] Die möglichen Werte für β sind immer noch Forschungsgegenstand.

Verallgemeinerungen

Die Teilerfunktion σk(n) ordnet jeder Zahl n die Summe der k-ten Potenzen ihrer Teiler zu.[8]

\sigma_k(n) = \sum_{d\mid n} d^k

Die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für k = 0.

\tau(n) = \sigma_0(n) = \sum_{d\mid n} d^0 = \sum_{d\mid n} 1

Literatur

  • G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1

Quellen

  1. Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 273, S. 239
  2. Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 289, S. 250
  3. Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 320, S. 264
  4. P. G. L. Dirichlet, Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie, Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften von 1849, S. 69–83; oder Werke, Band II, S. 49–66
  5. G. Voronoï, Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques, J. Reine Angew. Math. 126 (1903) 241–282
  6. J. G. van der Corput, Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem, Math. Ann. 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) 160.
  7. G. H. Hardy, On Dirichlet's divisor problem, Lond. M. S. Proc. (2) 15 (1915) 1–25. Vgl. Hardy-Wright, a.a.O., S. 272
  8. Eric W. Weisstein: Divisor Function auf MathWorld (englisch)

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