Symmetrische Matrix

Symmetrische Matrix

Die symmetrische Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Es handelt sich dabei um eine Matrix, die bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst übergeht. Für die Koeffizienten der Matrix gilt also

aij = aji.

Eine dazu gleichwertige Aussage ist, dass die Matrix gleich ihrer Transponierten ist:

A = AT.

Eine symmetrische Matrix ist immer quadratisch und – sofern sie ausschließlich reelle Elemente aufweist – eine normale Matrix. Beispiele sind die folgenden Matrizen:


\begin{pmatrix} 
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 3 & 0 \\
3 & 2 & 6 \\
0 & 6 & 5 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 5 \\
5 & 7
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
2
\end{pmatrix}

Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen gelten auch allgemeiner für hermitesche Matrizen.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Eine reelle symmetrische Matrix ist als normale Matrix diagonalisierbar mit einem vollen Satz Eigenvektoren, wobei die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.

Mit anderen Worten: Ist A \in \mathrm{Mat}(n\times n, \R) und bezeichnet man mit si die zueinander orthogonalen Eigenvektoren, so gilt mit S = (s_i)_{i\in \{1,...,n\}}, dass STAS = D bzw. A = SDST mit einer Diagonalmatrix D, welche die Eigenwerte zu den Eigenvektoren si in der entsprechenden Reihenfolge auf der Diagonalen hat.

Aus der Eigenschaft A = AT folgt außerdem sofort, dass A über einem reellen Vektorraum \mathbb{R}^n selbstadjungiert ist und daher nur reelle Eigenwerte auftreten können.

Lösung linearer Gleichungssysteme

Das Auffinden der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit positiv symmetrischer Koeffizientenmatrix vereinfacht sich, wenn man die Symmetrie der Koeffizientenmatrix ausnutzt. Auf Grund der Symmetrie lässt sich die Koeffizientenmatrix A als Produkt A = LDLT mit strikter linker unterer Dreiecksmatrix L und Diagonalmatrix D schreiben. Diese Zerlegung wird beispielsweise bei der Cholesky-Zerlegung verwendet, um die Lösung des Gleichungssystems zu berechnen.

Siehe auch

Literatur

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, 5. Aufl., Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8.

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