Stokes-Einstein-Gleichung

Stokes-Einstein-Gleichung

Im Bereich der kinetischen Gastheorie ist die Einstein-Smoluchowski-Beziehung, auch Einstein-Gleichung genannt, eine Beziehung, die zuerst Albert Einstein (1905) und danach Marian Smoluchowski (1906) in ihren Schriften zur Brownschen Bewegung aufdeckten:

D = μkBT.

Die Gleichung verknüpft D, den Diffusionskoeffizienten, und μ, die Beweglichkeit der Teilchen. kB bezeichnet die Boltzmannkonstante und T die Absolute Temperatur.

Es handelt sich um ein frühes Beispiel für eine Fluktuations-Dissipations-Beziehung.

Diffusion von Teilchen

In Bereichen mit niedriger Reynolds-Zahl ist die Beweglichkeit μ der Kehrbruch des Strömungskoeffizienten γ. Für kugelförmige Teilchen mit Radius r liefert die Stokessche Gleichung

\gamma = 6 \pi \, \eta \, r,

wobei η die Viskosität des Mediums bezeichnet. Die Einstein-Gleichung lässt sich somit umformen in:

D = \frac{k_\mathrm{B} T}{6\pi\,\eta\,r}.

Diese Form wird auch Stokes-Einstein-Gleichung genannt. Sie kann genutzt werden um den Diffusionskoeffizienten eines globulären Proteins in wässriger Lösung zu bestimmen: Für ein Protein von 100 kDalton erhalten wir D ~10-10 m2s-1, wobei wir eine Dichte von ~1,2 103 kg m-3 annehmen.

Elektrische Leitfähigkeit

Auf die elektrische Leitfähigkeit bezogen teilt man für gewöhnlich durch die Ladung q des Ladungsträgers und definiert die Elektronenbeweglichkeit

\mu  = \frac{v_d}{E}

wobei E das wirkende elektrische Feld ist. Die Einstein-Gleichung wird somit zu

D =  \frac{\mu \, k_\mathrm{B} T}{q}

Für einen Halbleiter mit beliebiger Zustandsdichte lautet die Einstein-Gleichung

D = \frac{\mu \, p}{q \frac{d\, p}{d \eta}}

mit dem chemischen Potential η und der Teilchenzahl p.


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