Standardnummerierung

Standardnummerierung

Eine Nummerierung einer Menge M ist eine surjektive (nicht zwingend bijektive) Funktion  \nu : \subseteq \mathbb{N} \rightarrow M , das heißt, jedem Element von M wird mindestens eine Nummer zugeordnet. Die Standardnummerierung einer Wortmenge Σ * ist wie folgt definiert:

  • Sei Σ ein Alphabet, n: = card(Σ)
  • Sei a: \{1, \ldots , n\} \rightarrow \Sigma eine Bijektion (eine Ordnungsfunktion) mit ai: = a(i).
  • \sigma: \Sigma^* \rightarrow \mathbb{N} sei definiert durch σ(ε): = 0 und \sigma(a_{i_k} a_{i_{k-1}} \ldots a_{i_1} a_{i_0}) := i_kn^k + i_{k-1}n^{k-1} + \ldots + i_1n + i_0 für alle k \in \mathbb{N}, \ i_0, \ldots, i_k \in \{1, \ldots, n\}.
  • Dann heißt \nu_\Sigma:\mathbb{N} \rightarrow \Sigma^*, definiert durch \nu_\Sigma := \sigma^{-1} \ , eine Standardnummerierung von \Sigma^* \ .

Beispiel

Sei Σ = {1,2}. Die Menge Σ * kann systematisch aufgelistet werden:

ε,1,2,11,12,21,22,111,112,121,122,211,212,221,222,usw.

\sigma(112) = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^0 = 8, denn a(1) = a1 = 1 und a(2) = a2 = 2.

νΣ(i): = das i-te Wort in der Liste, also νΣ(8) = 112.


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