Spezielle orthogonale Gruppe

Spezielle orthogonale Gruppe

Die spezielle orthogonale Gruppe \operatorname{SO}(n,F) ist die Gruppe aller orthogonalen n\times n-Matrizen mit Koeffizienten aus einem Körper F mit Determinante Eins:

\operatorname{det}(A)=1\quad\land\quad A^T \cdot A = E_n.

Hierbei ist mit \operatorname{det} die Determinante und mit En die Einheitsmatrix gemeint. Wenn aus dem Kontext klar ist, welcher Körper F ist, schreibt man auch \operatorname{SO}(n). Die Gruppe ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Inhaltsverzeichnis

Die SO als Untergruppe

Die spezielle orthogonale Gruppe \operatorname{SO}(n,F) ist Untergruppe

Wenn F die Charakteristik 2 hat, fallen \operatorname{SO}(n,F) und \operatorname{O}(n,F) zusammen.

Reelle spezielle orthogonale Gruppen

Die spezielle orthogonale Gruppe \operatorname{SO}(n) über dem Körper \R der reellen Zahlen beschreiben Drehungen im Euklidischen Raum \R^n. Daher bezeichnet man die Gruppe \operatorname{SO}(n) auch als Drehgruppe. \operatorname{SO}(n) bildet eine reelle kompakte zusammenhängende Lie-Gruppe der Dimension \frac{n(n-1)}2. Die Lie-Algebra der \operatorname{SO}(n) besteht aus dem Raum \mathfrak{so}(n) der schiefsymmetrischen reellen Matrizen.

Reelle orthogonale Gruppe SO(2)

Sei die schiefsymmetrische Matrix

A_2:=\left(\begin{matrix}
0&-\alpha\\ \alpha&0
\end{matrix}\right)

mit den Eigenwerten \pm i\cdot\alpha gegeben. Dann beschreibt der Endomorphismus A2 eine Multiplikation mit i\cdot\alpha in den komplexen Zahlen \mathbb{C}\cong\R^2. Außerdem beschreibt

\exp(A_2)=\left(\begin{matrix}
\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha)&\cos(\alpha)
\end{matrix}\right)\in\operatorname{SO}(2)

gerade die Rotation um den Winkel \alpha\in\mathbb S^1.

\operatorname{SO}(2) ist daher isomorph zum Einheitskreis \mathbb{S}^1 in der Ebene der komplexen Zahlen mit der komplexen Multiplikation als Verknüpfung.

Reelle orthogonale Gruppe SO(3)

Sei die schiefsymmetrische Matrix

A_3:=\left(\begin{matrix}
0                &  \alpha\cdot n_3 & -\alpha\cdot n_2\\
-\alpha\cdot n_3 &  0               &  \alpha\cdot n_1\\
 \alpha\cdot n_2 & -\alpha\cdot n_1 & 0
\end{matrix}\right)

mit 1=n_1^2+n_2^2+n_3^2 gegeben. Dann ist A_3\cdot\vec n=0 und für die Matrizen A3 und exp(A3) gelten folgende Ähnlichkeiten


A_3 \sim \left(\begin{matrix}
0 & 0 & 0\\0 & 0 & -\alpha\\0 & \alpha & 0
\end{matrix}\right)
\quad\land\quad
\exp(A_3) \sim \left(\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha)
\end{matrix}\right).

Hierbei wurde eine Orthonormalbasis gewählt, bei der der erste Vektor gerade \vec n ist. exp(A3) beschreibt also eine Drehung des Winkels α um die Drehachse \vec n.

\operatorname{SO}(3) ist lokal, aber nicht global isomorph zur speziellen unitären Gruppe \operatorname{SU}(2), ablesbar an isomorphen Lie-Algebren. Zu den verschiedenen Parametrisierungen der \operatorname{SO}(3) siehe Eulersche Winkel.

Vektorfelder von gleichmäßigen reellen Rotationen

Jede Rotation im \R^n lässt sich mit Hilfe einer schiefsymmetrischen Matrix A_n\in\mathfrak{so}(n) als Funktion c(t,x) = exp(An)tx beschreiben. Hierbei ist t der Zeitpunkt und x der Ausgangsort der Bewegung.

Wegen \exp(A_n)^t=\exp(t\cdot A_n) bedeutet das also

\begin{matrix}
c: & \R\times\R^n & \to & \R^n\\
&(t, x)  & \mapsto & \exp(t\cdot A_n)\cdot x
\end{matrix}

Als entsprechendes Vektorfeld V:\R^n\to\R^n erhält man dann

V(x)=\frac{\partial}{\partial t}c(0,x)=\exp(0\cdot A_n)\cdot A_n\cdot x = A_n\cdot x

Vektorfelder von gleichmäßigen Rotationen lassen sich also gerade durch schiefsymmetrische Matrizen darstellen.


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