Bahnachse

Keplerbahnen und Bahnachsen

Die Bahnachse einer astronomischen Umlaufbahn wird durch die große Halbachse der Ellipse als geschlossene Keplerbahn angenähert. An sich ist der Abstand zweier umeinander kreisender Himmelskörper zu jedem Zeitpunkt verschieden, und die Bahnachse beschreibt die grundlegende Geometrie der Bewegung.

Die große Halbachse ist die Entfernung der Hauptscheitel zum Mittelpunkt der Ellipse, die größte Strecke, die sich in eine Ellipse legen lässt. Weil ein Körper nach dem ersten Keplergesetz aber nicht um den Ellipsenmittelpunkt (die halbe Länge zwischen den Scheiteln), sondern einen der Brennpunkte der Ellipse rotiert, wird die Bahn im Allgemeinen in einem Koordinatensystem beschrieben, dessen Ursprung im Brennpunkt liegt (Bahnkoordinatensystem). Daher sind Abstand zum Ursprung – durch den Radiusvektor beschrieben – und Halbachse nicht gleich. Die Veränderlichkeit dieses Abstandes hängt in erster Linie von der Exzentrizität der Bahnellipsen ab. Ihr Minimalwert errechnet sich aus Halbachse minus linerarer Exzentrizität a − r_min^[1], ihr Maximalwert aus a + r_min.

Mit abnehmender Exzentrizität bei unveränderter Halbachse a fallen Ellipsenmittelpunkt, in der Zeichnung bei (2|0), und zweiter Brennpunkt bei (4|0) im ersten Brennpunkt (0|0) zusammen und bilden im Grenzfall r_min = 0 einen Kreis. Ellipse und Kreis haben dieselbe Bahnachse bzw. Radius. Auf beiden Bahnen umkreist ein kleiner Körper eine große Masse im Brennpunkt bei (0|0) mit der gleichen Umlaufzeit.

Die keplersche Planetentheorie ist eine Idealisierung, die die Gravitation des kleineren auf den größeren Körper vernachlässigt. In der Realität umkreisen beide einen gemeinsamen Schwerpunkt, in der Himmelsmechanik Baryzentrum des Systems genannt.

Beispiel der Bahn des Mondes:

Große Halbachse der Mondbahn	384.405 km
erdnächster Punkt (Perigäum)	356.410 km
erdfernster Punkt (Apogäum)	406.740 km
Mittelwert (geozentrisch)	381.575 km

Der Unterschied der letzten zwei Werte ist vor allem auf die Tatsache zurückzuführen, dass sich der Erdmond nicht um das Erdzentrum bewegt, sondern den Erde-Mond-Schwerpunkt (EMS). Es liegt knapp unterhalb der Erdoberfläche, da der Mond immerhin 1:81 der Erdmasse besitzt: Dieser Abstand von durchschnittlich 4.700 km ist auch die Bahnachse der Erde um den EMS. Ist der Mond erdfern, liegt auch der EMS näher an der Erdoberfläche, ist der Mond erdnah, ist der Abstand Erdmittelpunkt–EMS geringer. Diese Schwankung bleibt unter ein paar hundert Kilometern.

Bei den Monden anderer Planeten tritt dieser Unterschied kaum in Erscheinung, da ihre relativen Massen viel geringer sind. Hier kann man getrost als Bahnachse den Mittelwert der beiden Extremwerte nehmen, von denen schon Kepler als „mittlere Entfernung“ sprach.

Auch bei den Planetenbahnen ist der baryzentrische Unterschied minimal – mit Ausnahme der „Riesenplaneten“ Jupiter und Saturn, die etwa 1 Promille der Sonnenmasse ausmachen.

Anmerkungen

1. ↑ In der Mathematik bezeichnet $\epsilon$ die numerische Exzentrizität, in der Astronomie wird sie aber als e angegeben, sie liegt zwischen [O,1] - die lineare Exzentrizität – mathematisch – e, ein Maß in Kilometern oder Astronomischen Einheiten und ähnlichem, wird mit dem Bahnradius r_min bezeichnet