Semidirektes Produkt

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt das semidirekte Produkt eine spezielle Methode, mit der aus zwei gegebenen Gruppen eine neue Gruppe konstruiert werden kann. Diese Konstruktion verallgemeinert das Konzept des direkten Produkts von Gruppen.

Definition

Gegeben seien zwei Gruppen N und H, sowie ein Homomorphismus $\theta:H\to \operatorname{Aut}(N)$ der Gruppe H in die Gruppe der Automorphismen von N.

Das kartesische Produkt $G=N\times H$ der Mengen N und H ist die Menge aller Paare (n,h) mit $n \in N$ und $h\in H$. Dieses Produkt bildet zusammen mit der Verknüpfung

$(n_1,h_1)\cdot (n_2,h_2)=(n_1 \cdot \theta(h_1)(n_2),h_1\cdot h_2)$

eine Gruppe. Dieses semidirekte Produkt wird als $N\times_\theta H$ notiert, da der Homomorphismus θ die Struktur dieser Gruppe wesentlich mitbestimmt.

Anders als beim direkten Produkt spielen in dieser Definition die beiden konstruierenden Faktoren unterschiedliche Rollen beim Aufbau des Produkts. Durch θ operiert die Gruppe H auf N, nicht umgekehrt. Während beim direkten Produkt beim Vertauschen der Namen der Faktoren zwar nicht dieselbe, aber eine isomorphe Struktur entsteht, führt formales Vertauschen der Gruppen beim semidirekten Produkt zu einer undefinierten Struktur. Aus ähnlichen Gründen ist eine Erweiterung auf mehr als zwei Faktoren kaum sinnvoll und in der Literatur nicht üblich. Pointiert, wenn auch ungenau formuliert:

Das semidirekte Produkt ist weder kommutativ noch assoziativ.

Äußeres und Inneres Produkt

Die durch die obige Definition konstruierte Produktgruppe muss genauer als äußeres semidirektes Produkt bezeichnet werden, da die Gruppe G bei dieser Definition aus vorgegebenen, disjunkten Gruppen konstruiert wird. Innere Definitionen beziehen sich dagegen auf eine bereits gegebene Gruppe G mit einem Normalteiler N und einer Untergruppe H. Wie beim direkten Produkt führen innere und äußere Definition dort, wo eine innere Definition formal möglich ist, zu isomorphen Gruppen, sofern für die äußere Konstruktion der Homomorphismus θ passend gewählt wird. Formale Voraussetzung ist, dass die Gruppen N und H, von denen ausgegangen wird, Normalteiler bzw. Untergruppe derselben Gruppe sind und ihre Schnittmenge die Einsgruppe ist.

Ist andererseits aus zwei Gruppen N und H das äußere semidirekte Produkt $A=N\times_\theta H$ gebildet worden, dann enthält die Gruppe A mit $N^{\prime}=N\times\{e_H\}$ einen zu N isomorphen Normalteiler und mit $H^{\prime}=\{e_N\}\times H$ eine zu H isomorphe Untergruppe und kann als inneres semidirektes Produkt dieser „Kopien“ von N und H aufgefasst werden.

Da das innere semidirekte Produkt auf dem Konzept des Normalteilers einer Gruppe basiert, wird es im Artikel über diese besonderen Untergruppen im Unterabschnitt über das innere semidirekte Produkt erläutert. Dort wird auch der Zusammenhang zur äußeren Variante, auf die sich der vorliegende Artikel konzentriert, näher erklärt.

Splitting-Lemma

Eine Gruppe G ist genau dann isomorph zum semidirekten Produkt zweier Gruppen N und H wenn es eine kurze exakte Sequenz gibt

$1\longrightarrow N \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!u}\ \, G \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!v}\ \, H \longrightarrow 1$

sowie einen Homomorphismus $r\colon H \to G$, so dass $v \circ r = id_H$ die Identität auf H ist.
Der Homomorphismus $\theta\colon H\to Aut(N)$ kann in diesem Fall durch

$\theta(h)(n) = u^{-1}\left(r(h)\cdot u(n)\cdot r\left(h^{-1}\right)\right)$

konstruiert werden.

Beispiele

Theorie endlicher Gruppen

• Die Diedergruppe D_n, d. i. die Symmetriegruppe eines ebenen regelmäßigen n-Ecks, ist isomorph zum semidirekten Produkt der zyklischen Drehsymmetriegruppe $N\cong C_n$ (die durch eine zyklische Vertauschung der Ecken des Vielecks beschrieben werden kann) mit einer zweielementigen zyklischen Gruppe $H= \langle \sigma \rangle \cong C_2$. Das Element σ operiert dabei durch

$\theta(\sigma):\quad N\to N;\quad g\mapsto g^{-1}$

auf N, d. h. die Konjugation mit σ entspricht der Inversenbildung in N. Das Element σ kann als Spiegelung des Vielecks an einer seiner Symmetrieachsen aufgefasst werden.

• Für n>1 ist die Symmetrische Gruppe S_n isomorph zu einem semidirekten Produkt ihres Normalteilers N = A_n (der alternierenden Gruppe) und einer zweielementigen zyklischen Gruppe $H=\langle\tau_{(jk)}\rangle\cong C_2$. Das Element τ = τ_(jk) operiert auf N, indem in der Permutationsdarstellung von $\alpha\in N=A_n$ die Zahlen j und k vertauscht werden ($1\leq j<k\leq n$). Als inneres semidirektes Produkt aufgefasst: Für n>1 ist die Symmetrische Gruppe S_n ein semidirektes Produkt ihres Normalteiler A_n mit ihrer durch eine beliebige Transposition $\tau\in S_n$ erzeugten Untergruppe $\langle \tau \rangle$.

Anwendungsbeispiele in Transformationsgruppen

Wichtige Beispiele semidirekter Produkte sind

• die euklidische Gruppe E(n), die das semidirekte Produkt der Gruppe der Translationen $N=\mathbb{R}^n$ und der Gruppe der Drehspiegelungen H=O(n) ist. Der Automorphismus θ ist dabei durch die natürliche Wirkung der Drehspiegelungen auf den n-dimensionalen Raum gegeben.
  Im Fall n=2 (Ebene) sieht man an diesem Beispiel auch auf einfache Art, dass das semidirekte Produkt zweier abelschen Gruppen nicht abelsch sein muss: Man nehme nichttriviale Elemente $a\in \mathbb{R}^n; R \in O(n)$ und betrachte

$(a,\mathbf{1})\cdot(0,R)=(a,R)\neq (0,R)\cdot(a,\mathbf{1})=(R\cdot a,R).$

• die Poincaré-Gruppe, die das semidirekte Produkt der Gruppe der Translationen $N=\mathbb{R}^{3+1}$ und der Gruppe der Lorentztransformationen H=O(3,1) ist. Das Element T_a aus N bezeichne eine Verschiebung mit dem Vektor $a\in\mathbb{R}^{3+1}$. Der Automorphismus θ ist dann durch θ(L)(T_a) = T_La für jede Lorentztransformation $L\in H$ und jeden Vektor a gegeben. Die Poincaré-Gruppe ist besonders wichtig für die spezielle Relativitätstheorie, wo sie als Invarianzgruppe auftaucht.

Literatur

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9