Selbstähnlichkeit

Selbstähnlichkeit
Ein Ausschnitt aus der Mandelbrot-Menge

Selbstähnlichkeit im engeren Sinne ist die Eigenschaft von Gegenständen, Körpern, Mengen oder geometrischen Objekten, in größeren Maßstäben, d. h. bei Vergrößerung dieselben oder ähnliche Strukturen aufzuweisen wie im Anfangszustand. Diese Eigenschaft wird unter anderem von der fraktalen Geometrie untersucht, da fraktale Objekte eine hohe bzw. perfekte Selbstähnlichkeit aufweisen. Die Mandelbrotmenge ist strenggenommen und im Gegensatz zu häufig zu lesenden Meinungen nicht selbstähnlich: Im Prinzip kann man jedem Ausschnitt des Randes in jeder Vergrößerung bei genügender Auflösung ansehen, von welchem Punkt er stammt.

Im weiteren Sinne wird der Begriff auch in der Philosophie sowie den Sozial- und Naturwissenschaften verwendet, um grundsätzlich wiederkehrende, in sich selbst verschachtelte Strukturen zu bezeichnen.

Inhaltsverzeichnis

Fraktale Geometrie

Selbstähnlichkeit am Beispiel des Sierpinski-Dreiecks

Von exakter (oder strikter) Selbstähnlichkeit ist die Rede, wenn bei unendlicher Vergrößerung des untersuchten Objekts immer wieder die ursprüngliche Struktur erhalten wird, ohne jemals eine elementare Feinstruktur zu erhalten. Exakte Selbstähnlichkeit ist praktisch nur bei mathematisch (z. B. durch ein iteriertes Funktionen-System) erzeugten Objekten zu finden. Beispiele dafür sind das Sierpinski-Dreieck, die Koch-Kurve, die Cantor-Menge oder trivialerweise ein Punkt und eine Gerade.

Die Mandelbrot-Menge und die Julia-Mengen sind selbstähnlich, nicht jedoch strikt selbstähnlich. Strikte Selbstähnlichkeit impliziert Skaleninvarianz und lässt sich unter anderem mit Hilfe der charakteristischen Exponenten des zugrundeliegenden Potenzgesetzes (Skalengesetzes) quantifizieren.

Natur

Blütenstand des Romanesco mit fraktalen Strukturen und Fibonacci-Spiralen.

Real existierende Beispiele wären z. B. die Verästelung von Blutgefäßen, Farnblättern oder Teilen eines Blumenkohls (das wird bei der Sorte Romanesco sehr deutlich), die in einfacher Vergrößerung dem Blumenkohlkopf sehr ähnlich sind. Bei realen Beispielen lässt sich die Vergrößerung selbstverständlich nicht bis ins Unendliche fortsetzen, wie es bei idealen Objekten der Fall wäre.

Auch beliebige Abbildungen der realen Welt weisen Selbstähnlichkeiten auf, die z. B. bei der fraktalen Bildkompression oder der fraktalen Tonkompression genutzt werden.

Die Rekurrenzen bezeichnen den Aufruf oder die Definition einer Funktion durch sich selbst, die demzufolge selbstähnlich sind.

Die Selbstähnlichkeit ist ein Phänomen, das oft in der Natur auftritt. Eine kennzeichnende Zahl für die immer wiederkehrende Selbstähnlichkeit ist der Goldene Schnitt.

Auch die Trajektorien eines Wiener-Prozesses sowie der gebrochenen Brownschen Bewegung sind selbstähnlich.

Literatur

  • Henning Fernau: Iterierte Funktionen, Sprachen und Fraktale, B. I. Wissenschaftsverlag, Mannheim - Wien - Zürich 1994.

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Selbstähnlichkeit — Selbst|ähnlichkeit,   Skalen|invarianz, die Invarianz gewisser Strukturen im Raum oder in der Zeit gegenüber bestimmten Maßstabstransformationen; gleichbedeutend mit der Eigenschaft, dass bei einer Vergrößerung ein Teil der betrachteten Struktur… …   Universal-Lexikon

  • Fraktalität — Ein Ausschnitt aus der Mandelbrot Menge Selbstähnlichkeit im engeren Sinne ist die Eigenschaft von Gegenständen, Körpern, Mengen oder geometrischen Objekten, in größeren Maßstäben, d. h. bei Vergrößerung dieselben oder ähnliche Strukturen… …   Deutsch Wikipedia

  • Selbst-Ähnlichkeit — Ein Ausschnitt aus der Mandelbrot Menge Selbstähnlichkeit im engeren Sinne ist die Eigenschaft von Gegenständen, Körpern, Mengen oder geometrischen Objekten, in größeren Maßstäben, d. h. bei Vergrößerung dieselben oder ähnliche Strukturen… …   Deutsch Wikipedia

  • Selbstähnlich — Ein Ausschnitt aus der Mandelbrot Menge Selbstähnlichkeit im engeren Sinne ist die Eigenschaft von Gegenständen, Körpern, Mengen oder geometrischen Objekten, in größeren Maßstäben, d. h. bei Vergrößerung dieselben oder ähnliche Strukturen… …   Deutsch Wikipedia

  • Fraktal — Berühmtes Fraktal: die Mandelbrot Menge (sogenanntes „Apfelmännchen“) Fraktal ist ein von Benoît Mandelbrot geprägter Begriff (lateinisch fractus ‚gebrochen‘, von lateinisch frangere ‚(in Stücke zer)brechen‘), der nat …   Deutsch Wikipedia

  • Fraktale — Berühmtes Fraktal: die Mandelbrot Menge (sogenanntes „Apfelmännchen“) Fraktal ist ein von Benoît Mandelbrot (1975) geprägter Begriff (lat. fractus: gebrochen, von frangere: brechen, in Stücke zerbrechen), der natürliche oder künstliche Gebilde… …   Deutsch Wikipedia

  • Fraktale Geometrie — Berühmtes Fraktal: die Mandelbrot Menge (sogenanntes „Apfelmännchen“) Fraktal ist ein von Benoît Mandelbrot (1975) geprägter Begriff (lat. fractus: gebrochen, von frangere: brechen, in Stücke zerbrechen), der natürliche oder künstliche Gebilde… …   Deutsch Wikipedia

  • Küstenlinienparadoxon — Unter Küstenlänge versteht man die Länge einer Küste. Wegen der sehr unregelmäßigen Form mancher Küsten hängt die ermittelte Länge stark von der Genauigkeit der benutzten Kartengrundlage und der Genauigkeit der Messung ab. Dabei zeigt sich, dass… …   Deutsch Wikipedia

  • Uferlänge — Unter Küstenlänge versteht man die Länge einer Küste. Wegen der sehr unregelmäßigen Form mancher Küsten hängt die ermittelte Länge stark von der Genauigkeit der benutzten Kartengrundlage und der Genauigkeit der Messung ab. Dabei zeigt sich, dass… …   Deutsch Wikipedia

  • Apfelmännchen — Die Mandelbrot Menge, im allgemeinen Sprachgebrauch oft auch Apfelmännchen genannt, ist eine fraktal erscheinende Menge, die in der Chaostheorie, und genauer in der komplexen Dynamik, eine bedeutende Rolle spielt. Sie wurde 1980 von Benoît… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”