Schalenmodell (Kernphysik)

Energie-Niveaus nach dem Einteilchen-Schalenmodell mit Oszillator-Potential (mit kleinem negativem $\boldsymbol{l}^2$-Term) ohne Spin-Bahn-Wechselwirkung (links) und mit Spin-Bahn-Wechselwirkung (rechts). Die Nummern rechts neben den Levels geben die Multiplizität (2j+1) an. Die Zahlen in Kästen stellen die sog. magischen Zahlen dar.

Das Schalenmodell ist in der Kernphysik ein Modell des Aufbaus von Atomkernen. Es führt den Aufbau der Atomkerne auf quantenmechanische Gesetzmäßigkeiten (Pauli-Prinzip) zurück. Im Gegensatz zu dem Tröpfchenmodell ist das Schalenmodell ein Modell, das Nukleonen eine relative Bewegungsunabhängigkeit zugesteht. Es wurde synchron von Eugene Paul Wigner, Maria Goeppert-Mayer und J. Hans D. Jensen im Jahre 1949 postuliert, die dafür 1963 den Nobelpreis für Physik erhielten.

Für die Bewegung der Nukleonen wird ein mittleres Potential angesetzt, welches durch die Nukleonen selbst erzeugt wird. Häufig wird als Potential ein Woods-Saxon-Potential gewählt. Da sich dieses aber nur numerisch behandeln lässt, wählt man zur analytischen Behandlung gerne ein modifiziertes harmonischer-Oszillator-Potential. Man erhält diskrete Energieniveaus, die auch Schalen genannt werden. Die einzelnen Schalen werden analog zu den Schalen für Elektronen in der Atomhülle mit Quantenzahlen bezeichnet. Die Niveaus für Protonen und Neutronen sind dabei leicht unterschiedlich, denn die Ladung der Protonen sorgt durch die gegenseitige Abstoßung dafür, dass die Protonen-Energieniveaus etwas höher liegen als die der Neutronen. Bei leichteren Kernen (bis etwa 82 Protonen) sind die Abstände der Niveaus untereinander aber für Protonen und Neutronen in etwa gleich. Die Niveaus sind also näherungsweise nur gegeneinander verschoben. Dieser Verschiebung entspricht im Tröpfchenmodell der Coulombterm.

Als Fermionen können sich auf einer Schale, wie bei Elektronen auch, nur zwei Nukleonen mit unterschiedlicher Spinquantenzahl befinden. Für die 1s-Schale bedeutet dies, dass nur zwei Nukleonen diese Schale besetzen und ein zusätzliches Nukleon ein höheres Niveau auf der 1p-Schale besetzen muss. Die Konfiguration aus zwei Protonen und zwei Neutronen ist also besonders stabil, da jeweils die 1s-Schale der Neutronen- und der Protonenniveaus voll besetzt ist. Durch große Abstände zwischen 1p und 1d, und zwischen 1d- und 1f-Niveaus entstehen zwei weitere sehr stabile Konfigurationen, wenn die 1p- und 1d-Orbitale vollständig gefüllt sind (8 bzw. 20 Nukleonen). Kerne, bei denen Protonen oder Neutronen ein solches Orbital, welches einen großen energetischen Abstand zum nächsten Orbital besitzt, vollständig gefüllt haben, sind stabiler im Verhältnis zu ähnlichen Kernen, die ein Nukleon mehr oder weniger haben, und werden daher auch magische Kerne genannt. Kerne bei denen Protonen und Neutronen diese Bedingung erfüllen, werden doppelt magische Kerne genannt, wie das eben erwähnte Helium-Isotop oder auch das Isotop ¹⁶O.
Diese besondere Stabilität der Kerne ist analog zur Stabilität der Elektronen der Edelgase, die durch das Schalenmodell der Elektronen erklärt wird. Diese speziellen Anzahlen an Nukleonen nennt man magische Zahlen, sie lauten: 2, 8, 20, 28, 50, 82 und 126.

Für die magische Zahl 28 gibt es allerdings einen besonderen Grund: In diesem Fall entsteht die Energielücke, also der energetisch große Abstand zwischen erlaubten Zuständen, nicht durch volle Schalen, sondern durch die Spin-Bahn-Kopplung des 1f-Niveaus. f-Niveau bedeutet, wie bei den Elektronen auch, dass die Nebenquantenzahl l=3 ist. Somit ergeben sich als erlaubte Gesamtdrehimpulse j=l+s die Werte 3,5 und 2,5, wobei j=3,5 energetisch deutlich tiefer liegt als j=2,5. Sind alle Zustände mit j=3,5 besetzt, so erhält man ein stabileres Niveau bei der magischen Zahl 28. Die Spin-Bahn-Kopplung ist ähnlich zu der Feinstrukturaufspaltung der Elektronenniveaus im Atom, nur dass die Energieaufspaltung der Nukleonen-Orbitale sowohl absolut als auch relativ viel größer ist als bei Elektronen. Auch ist bei Elektronen der Zustand mit j=2,5 energetisch günstiger als der mit j=3,5. Allgemeiner ausgedrückt: Elektronen wollen den Gesamtdrehimpuls j minimieren und Nukleonen wollen ihn maximieren. Die magischen Zahlen 50, 82 und 126 sind auf die Spin-Bahn-Kopplungen der 1g-, 1h- und 1i-Orbitale zurückzuführen.

Kern-Typen im Rahmen des Schalenmodells

gg-Kerne

Als gg-Kerne bezeichnet man solche Nuklide, welche sowohl eine gerade Anzahl an Protonen als auch an Neutronen aufweisen. Der Grundzustand (gs, engl. "ground state") solcher Kerne beträgt stets J^π = 0 ⁺ .

ug/gu-Kerne

Analog werden solche Nuklide, welche eine ungerade Anzahl an Protonen aber eine gerade Anzahl an Neutronen aufweisen als gu-Kerne, und Kerne mit einer geraden Anzahl an Protonen aber eine ungeraden Anzahl an Neutronen als ug-Kerne bezeichnet (Achtung: Oft wird nicht streng zwischen gu- und ug-Kernen unterschieden, da diese beiden Typen im Rahmen des Schalenmodells physikalisch ähnliche Eigenschaften aufweisen). Der Grundzustand solcher Kerne kann sowohl positive als auch negative Parität besitzen, der Spin richtet sich nach dem Spin des ungepaarten Nukleons und ist somit stets halbzahlig.

uu-Kerne

Als uu-Kerne bezeichnet man solche Nuklide, welche sowohl eine ungerade Anzahl an Protonen als auch an Neutronen aufweisen. Der Grundzustand solcher Kerne kann gleichfalls positive wie negative Parität aufweisen, der Spin setzt sich zusammen aus der Kopplung der Einzelspins der beiden ungepaarten Nukleonen und ist somit stets ganzzahlig.

Literatur

• Maria Goeppert-Mayer: On closed shells in nuclei. Phys. Rev. 74: 235 (1948).
• Maria Goeppert-Mayer: On closed shells in nuclei II. Phys. Rev. 75: 1969 (1949).
• Maria Goeppert-Mayer: Nuclear configurations in the spin-orbit coupling model.
  • I. Empirical evidence. Phys. Rev. 78: 16 (1950).
  • II. Theoretical considerations. Phys. Rev. 78: 22 (1950).
• Maria Goeppert-Mayer & J.H.D. Jensen: Elementary Theory of Nuclear Shell Structure. New York: John Wiley & Sons, 1955
• Otto Haxel, JHD Jensen, & HE Suess: On the ‘magic numbers’ in nuclear structure. Phys. Rev. 75 (1949), 1766