Satz von Krein–Šmulian

Der Satz von Krein-Šmulian, benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der ein Kriterium für die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezüglich der schwach-*-Topologie darstellt.

Formulierung des Satzes

Ist E ein Banachraum, so sei E_r' die abgeschlossene r-Kugel im Dualraum von E, wobei r > 0 sei. Diese ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu bezüglich der schwach-*-Topologie kompakt und daher abgeschlossen. Ist also $M\subset E'$ eine schwach-*-abgeschlossene Teilmenge, so sind auch die Mengen $M\cap E_r', \, r>0$ schwach-*-abgeschlossen. Der hier zu besprechende Satz sagt aus, dass für konvexe Mengen M auch die Umkehrung gilt:

• Satz von Krein-Šmulian: Seien E ein Banachraum und $M\subset E'$ eine konvexe Menge. Wenn $M\cap E_r'$ für jedes r > 0 schwach-*-abgeschlossen ist, dann ist auch M schwach-*-abgeschlossen.

Bemerkungen

Ein Beispiel

Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Aussage des Satzes von Krein-Šmulian falsch, wenn M nicht konvex ist. Dazu seien $F_n\subset E^'$ n-dimensionale Teilräume mit $F_1\subset F_2 \subset F_3 \subset \ldots$ und $S_n := \{f\in F_n; \|f\| = n\}$ sei die Kugelfläche mit Radius n in F_n. Da diese Kugelflächen kompakt sind, gibt es ein endliches 1/n-Netz $M_n\subset S_n$. Setze $M=M_1 \cup M_2 \cup M_3 \cup \ldots.$.

Dann ist $M\cap E_r'$ für jedes r > 0 endlich und daher schwach-*-abgeschlossen. M selbst ist aber nicht schwach-*-abgeschlossen, denn 0 liegt im schwach-*-Abschluss von M. Dazu ist zu zeigen, dass jede Menge der Form $U = \{f\in E\,'; |f(x_1)|<\epsilon,\ldots |f(x_m)|<\epsilon\}$, wobei $x_1,\ldots, x_m \in E$ und $\epsilon > 0$, ein Element aus M enthält. Wähle dazu n so groß, dass $\max_{i=1,\ldots m}\|x_i\| < n \epsilon$ und n > m. Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgründen ein $g\in S_n$ mit $g(x_1)=\ldots=g(x_m)=0$. Wähle nun ein $f\in M_n$ mit $\|f-g\|<1/n$. Dann ist $f\in M\cap U$, denn $|f(x_i)|=|f(x_i)-g(x_i)| \le \|f-g\|\cdot \|x_i\| < \epsilon$ für alle $i=1,\ldots, m$.

Die bw*-Toplogie

Man erkläre eine Menge $M\subset E'$ als abgeschlossen, wenn der Durchschnitt $M\cap E_r'$ für jedes r > 0 schwach-*-abgeschlossen ist. Leicht überlegt man sich, dass dadurch eine Topologie, die sogenannte bw*-Topologie, definiert ist. Wie obiges Beispiel zeigt, ist diese Topologie im Falle unendlich-dimensionaler Banachräume echt feiner als die schwach-*-Topologie. Der Satz von Krein-Šmulian kann nun wie folgt umformuliert werden:

• Seien E ein Banachraum und $M\subset E'$ eine konvexe Menge. Dann stimmen der schwach-*-Abschluss und der bw*-Abschluss von M überein.

Satz von Banach-Dieudonné

• Seien E ein Banachraum und $U\subset E'$ ein Unterraum. U ist genau dann schwach-*-abgeschlossen, wenn $U\cap E_1^'$ schwach-*-abgeschlossen ist.

Dieser nach Banach und Dieudonné benannte Satz ist wegen $U\cap E_r^' = r\cdot (U\cap E_1^')$ offenbar ein Korollar zum Satz von Krein-Šmulian.

Quellen

• M. M. Day: Normed Linear Spaces Springer-Verlag GmbH, dritte Auflage (1973) ISBN 3540061487