Satz von Jung

Satz von Jung

Der Satz von Jung (benannt nach Heinrich Jung) macht eine Aussage darüber, wie groß eine Kugel in einem n-dimensionalen Raum sein muss, die eine vorgegebene Menge von Punkten einschließt.

Formulierung

Es seien endlich viele Punkte a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{R}^n gegeben, und es sei d := \max\nolimits_{i,j = 1, \dots, k} \| a_i - a_j \|_2 der maximale Euklidische Abstand zweier Punkte.

Der Satz von Jung besagt, dass es eine n-dimensionale Kugel mit einem Radius r \leq d \sqrt{\tfrac{n}{2(n+1)}} gibt, so dass alle Punkte a_1, a_2, \dots, a_k innerhalb der Kugel (den Rand eingeschlossen) liegen.

Weiterhin ist der Mittelpunkt der Kugel mit kleinstmöglichem Radius eindeutig bestimmt.

Spezialfall einer Ebene

Am bekanntesten ist der Fall von Punkten in der Ebene, d.h. n = 2. In diesem Fall besagt der Satz von Jung, dass der Radius r \leq d/\sqrt{3} ist.

Für die drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks benötigt man genau diesen Radius.

Literatur


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