Rotationsellipsoid

Abgeplattetes Rotationsellipsoid	Verlängertes Rotationsellipsoid

Ein Rotationsellipsoid (auf Englisch "spheroid") ist ein Ellipsoid, das durch die Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht. Im Gegensatz zu einem allgemeinen Ellipsoid sind zwei Achsen gleich lang. Man unterscheidet dabei je nach Länge der Drehachse das

• verlängerte (prolate) Ellipsoid bei Rotation um die große Halbachse a und das
• abgeplattete (oblate) Ellipsoid bei Rotation um die kleine Halbachse b.

Ein Beispiel für ein verlängertes Rotationsellipsoid ist die Form des Rugbyballs, das abgeplattete ähnelt einer Schokolinse.

Vorkommen

Rotationsellipsoid und Massenverlagerung (rot)

Die meisten größeren Himmelskörper sind angenähert abgeplattete Rotationsellipsoide (auch Sphäroide genannt). Sie entstehen durch die Fliehkraft, die bewirkt, dass ein sich drehender kugelförmiger Körper verformt wird. An den Polen, also den Durchstoßpunkten der Rotationsachse, werden diese Körper abgeplattet, am Äquator entsteht eine Ausbauchung. Besonders deutlich ist die Abplattung bei den großen Gasplaneten Jupiter und Saturn ausgeprägt, weil sie besonders schnell rotieren und nicht verfestigt sind. Aber auch die Erde und die anderen terrestrischen Planeten werden durch die bei der Rotation entstehenden Fliehkräfte zu Rotationsellipsoiden verformt. Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1/16 abgeplattet, die Erdabplattung beträgt 1/298,257223563 (WGS 84). Elliptische Galaxien sind oft keine Rotationsellipsoide, sondern triaxial.

Parameterdarstellung

$\begin{pmatrix} a ~ \sin\vartheta ~ \cos \varphi \\ b ~ \sin\vartheta ~ \sin\varphi \\ c ~ \cos \vartheta \end{pmatrix} \qquad (0 \leq \vartheta \leq \pi , 0 \leq \varphi \leq 2\pi , 0 \leq a,b,c)$.

Die konstanten Streckungsfaktoren a,b und c beschreiben hierbei jeweils den Schnittpunkt mit der dazugehörigen Achse des kartesischen Koordinatensystems. An der Parameterdarstellung wird der Bezug zur Kugel deutlich. Gilt a = b = c, so erhält man Kugelkoordinaten, d.h. die Kugel ist ein Spezialfall eines Rotationsellipsoids.

Volumen

Das Volumen des verlängerten Rotationsellipsoids beträgt

$V = \frac{4\pi}{3} a b^2,$

und das des abgeplatteten

$V = \frac{4\pi}{3} a^2 b.$

Oberfläche

Die Oberfläche ^[1] für das verlängerte Ellipsoid berechnet man mit

$A = 2\pi b \left(b + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\right)\right)$,

die des abgeplatteten mit

$A = 2\pi a \left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right)\right)$.

Anwendung

In der Geodäsie, Kartografie und den anderen Geowissenschaften werden Rotationsellipsoide als geometrische Annäherung an das (physikalische) Geoid benutzt. Diese Rotationsellipsoide dienen dann als Referenzfläche, um die Lage bzw. Höhe von Objekten der Erdoberfläche anzugeben. Man spricht dann von einem Referenzellipsoid.

In einem Hohlkörper reflektieren die Begrenzungsflächen des (gestreckten) Rotationsellipsoiden die Strahlung von einem Brennpunkt zum anderen. Den Effekt nutzt ein Flüstergewölbe für die Bündelung von Schallwellen.
Derart geformte optische Reflektoren bündeln die Strahlung einer nahezu punktförmigen, sich in einem der Brennpunkte befindlichen Lichtquelle auf den anderen Brennpunkt des Ellipsoids. Dort kann sich die Grenzfläche eines Lichtleitkabels, ein anderes optisches Element oder der Ort eines strahlungsinduzierten Prozesses befinden.

Berechnung der Oberflächenformeln

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}-1=0$ sei die Gleichung der Ellipse mit den Halbachsen a und b (a > b).

Verlängertes Rotationsellipsoid

Mit der ersten guldinschen Regel $A = 2\pi\int_{-a}^a f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x$ lässt sich die Oberfläche des Rotationskörpers berechnen, der durch die um die x-Achse rotierende Ellipse erzeugt wird. Dabei nimmt man $f(x)=\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}$ als erzeugende Linie, die sich aus der Ellipsengleichung durch Auflösen nach y ergibt.

Außerdem wird noch ein Integral benötigt, das sich über die Ableitung der rechten Seite nach x verifizieren lässt:

$\int\sqrt{q-p x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2} \sqrt{q-p x^2}+\frac{q }{2 \sqrt{p}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}x\right).$

Einsetzen von f und f' in die guldinsche Regel liefert

$A = 2\pi\int_{-a}^a \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} \sqrt{1+\frac{b^2 x^2}{a^2 \left(a^2-x^2\right)}}\mathrm{d}x= \frac{4\pi b}{a^2} \int_0^a \sqrt{a^4-\left(a^2-b^2\right) x^2}\mathrm{d}x.$

Im letzten Ausdruck wurde die Spiegelsymmetrie des Integranden um x = 0 ausgenutzt. Nun braucht man nur noch das pq-Integral mit der Obergrenze x = a (die Untergrenze trägt nicht bei) und die Parameter q = a⁴ und p = a² − b² einzusetzen und erhält

$A = \frac{4\pi b }{a^2}\left(\frac{a}{2} \sqrt{a^4-\left(a^2-b^2\right)a^2}+\frac{ a^4}{2\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^4}}a\right) \right),$

was nach dem Vereinfachen die gewünschte Formel darstellt.

Abgeplattetes Rotationsellipsoid

Diese Rechnung verläuft ähnlich der vorigen, man lässt die Ellipse jetzt aber um die y-Achse rotieren. [x_l,x_r] ist das Intervall der betrachteten Profillinie (hier [0,a]). Mit der ersten guldinschen Regel in der Form

$A = 2\pi\int_{\min(f(x_l),f(x_r))}^{\max(f(x_l),f(x_r))} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y$

und der Umkehrfunktion $f^{-1}(y)=\frac{a}{b} \sqrt{b^2-y^2}$ (Auflösen der Ellipsengleichung nach x) und einsetzen von f(0) = b sowie f(a) = 0 findet man

$A = 4\pi\int_{0}^b \frac{a}{b} \sqrt{b^2-y^2} \sqrt{1+\frac{a^2 y^2}{b^2 \left(b^2-x^2\right)}}\mathrm{d}y= \frac{4\pi a}{b^2} \int_0^b \sqrt{b^4+\left(a^2-b^2\right) y^2}\mathrm{d}y.$

Hier wurde wiederum die Symmetrie der Ellipse ausgenutzt und außerdem die Integrationsgrenzen so angeordnet, dass sich ein positives Resultat ergibt.

Substituiert man im pq-Integral x = iy, so ergibt sich die an dieser Stelle passende verwandte Form

$\int\sqrt{q+p y^2}\mathrm{d}y=\frac{y}{2} \sqrt{q+p y^2}+\frac{q }{2 \sqrt{p}} \operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}y\right).$

Einsetzen des Integrals mit der Obergrenze y = b und der Parameter q = b⁴ und p = a² − b² resultiert in

$A = \frac{4\pi a }{b^2}\left(\frac{b}{2} \sqrt{b^4+\left(a^2-b^2\right)b^2}+\frac{ b^4}{2\sqrt{a^2-b^2}} \operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{b^4}}b\right) \right).$

Vereinfachen liefert den oben zitierten Ausdruck für die Oberfläche des abgeplatteten Rotationsellipsoids. Das Ergebnis lässt sich auch unter Verwendung der numerischen Exzentrizität

$\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$

darstellen und mit der Ersetzung

$\operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right) = \operatorname{artanh} (\varepsilon)$

in eine häufig verwendete Form bringen.

Beide Oberflächenformeln gehen bei Vertauschen von a und b (entspricht einer Drehung der das Rotationsellipsoid erzeugenden Ellipse um 90 Grad) ineinander über.

Einzelnachweise

1. ↑ Beyer, CRC Handbook of Mathematical Sciences, 5th Edition, S. 198