Riemannscher Hebbarkeitssatz

Der riemannsche Hebbarkeitssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein grundlegendes Ergebnis der mathematischen Funktionentheorie. Der Satz besagt, dass eine Singularität (also eine Stelle, an der eine holomorphe Funktion nicht definiert ist) genau dann entfernt ("behoben") werden kann, wenn ein Gebiet um die Singularität existiert, auf dem die holomorphe Funktion beschränkt ist. Eine solche Singularität heißt hebbar.

Der Satz

Es sei $\,z_0$ ein Punkt des Gebietes $\;G$, $\;f$ sei eine auf $\;G \setminus \{ z_0 \}$ holomorphe Funktion. Ist $\;f$ auf einer punktierten Umgebung von $\;z_0$ beschränkt, so gibt es eine auf ganz G holomorphe Funktion $\;\tilde f$ mit

$\tilde f|_{(G \setminus \{ z_0 \} )} = f$.

Man kann dann also $\;f$ in den Punkt $\;z_0$ hinein holomorph fortsetzen und damit die "Lücke" im Definitionsgebiet von $\;f$ "aufheben".

Verallgemeinerungen

Eine einfache Verallgemeinerung besteht darin, die Voraussetzung der Beschränktheit dahingehend abzuschwächen, dass lediglich

$\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0$

gilt. Sie folgt leicht aus der obigen Formulierung durch Anwendung auf die in einer Umgebung von z₀ beschränkte Funktion g(z) = (z − z₀)f(z).

Anwendungsbeispiel: Nichtexistenz einer holomorphen Wurzelfunktion

Behauptung: Es gibt keine auf $\mathbb C\setminus\{0\}$ holomorphe Funktion f, die f(z)² = z für $z\ne 0$ erfüllt und für positive reelle Argumente mit der üblichen Wurzelfunktion übereinstimmt.

Beweis durch Widerspruch: Es gälte $|f(z)|=\sqrt{|z|}$, damit wäre f in einer punktierten Umgebung der Null beschränkt, nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz also holomorph auf ganz $\mathbb C$ fortsetzbar. Damit müsste auch die Ableitung von f bei 0 lokal beschränkt sein. Andererseits ist $f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$ für positive reelle $x\to0$ unbeschränkt: Aus diesem Widerspruch folgt, dass die ursprüngliche Behauptung wahr sein muss.

Literatur

• Krantz, S. G.: Handbook of Complex Variables, Birkhäuser, 1999, ISBN 0817640118. Darin: §4.1.5, The Riemann Removable Singularity Theorem.

Weblinks

• Beweis des riemannschen Hebbarkeitssatzes (engl.)