Auswahlsatz

Der Auswahlsatz, auch Auswahl-, Inklusions- oder Einschlusswahrscheinlichkeit, selten Stichprobengewichte (engl. inclusion probability), gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine oder mehrere Elemente einer Grundgesamtheit in eine Stichprobe gelangen.

Als Inklusionswahrscheinlichkeit 1. Ordnung π_i wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass das i-te Element der Grundgesamtheit in einer Stichprobe vom Umfang n enthalten ist. Analog ist die Inklusionswahrscheinlichkeit 2. Ordnung π_ij (mit $i\neq j$) die Wahrscheinlichkeit mit der das i-te und j-te Element in eine Stichprobe vom Umfang n gelangen.

Bei einer uneingeschränkten oder einfachen Zufallstichprobe lassen sich die Inklusionswahrscheinlichkeiten direkt angeben. Bei komplexeren Stichprobenverfahren treten Designeffekte auf. Hier hat auch nicht jedes Element die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen.

Berechnung der Inklusionswahrscheinlichkeiten

Die Inklusionswahrscheinlichkeit 1. Ordnung π_i lässt bei einer uneingeschränkten oder einfachen Zufallstichprobe mittels der hypergeometrischen Verteilung berechnen:

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei N gegebenen Elementen („Grundgesamtheit des Umfangs N“), von denen M die gewünschte Eigenschaft besitzen, beim Herausgreifen von n Probestücken („Stichprobe des Umfangs n“) genau k Treffer erzielt werden, d.h. die Wahrscheinlichkeit für X = k Erfolge in n Versuchen.

Da es nur ein i-tes Element in der Grundgesamtheit gibt, ist M=1 und entweder zieht man es (k=1) oder nicht (k=0):

$\pi_i = P(X=1) = \frac{{1\choose 1}{N-1 \choose n-1}}{{N \choose n}} = \frac{n}{N}$

Demnach gilt:

$\sum_{i=1}^N \pi_i = n$

Analog lassen sich die Inklusionswahrscheinlichkeit 2. Ordnung für eine uneingeschränkte Zufallstichprobe berechnen; hier gilt M=2 und k=2:

$\pi_{ij} = P(X=2) = \frac{{2\choose 2}{N-2 \choose n-2}}{{N \choose n}} = \frac{n}{N}\frac{n-1}{N-1}$

Beispiel

Die Grundgesamtheit besteht aus vier Elementen: {w1 , w2 , w3 , w4 }. Wir betrachten drei Stichproben des Umfangs n = 2, und zwar {w1 , w3 }, {w2 , w4 } und {w3 , w4 }. Bei einer uneingeschränkten Zufallstichprobe gäbe es insgesamt 4! / (2! * 2!) = 6 mögliche Stichproben; d.h. sind nur die drei obigen Stichproben möglich handelt es sich nicht um eine uneingeschränkte Zufallstichprobe.

Die Wahrscheinlichkeit für jede der Stichproben ist gerade 1/3 und die Inklusionswahrscheinlichkeiten ergeben sich zu

Inklusionswahrscheinlichkeit	w1	w2	w3	w4
1. Ordnung	1/3	1/3	2/3	2/3
2. Ordnung	w1	w2	w3	w4
w1	--	0	1/3	0
w2		--	0	1/3
w3			--	1/3
w4				---