Rechtsmodul

Rechtsmodul
Links- oder Rechts-Modul

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Ein Modul (maskulinum, auf der ersten Silbe betont; Plural: Moduln) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Inhaltsverzeichnis

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

In diesem einfachsten Fall kann man direkt die Axiome eines Vektorraums abschreiben und überall „Körper“ durch „Ring“ ersetzen: Ein Modul über einem kommutativen Ring (R, +, \cdot) mit Einselement ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einer Abbildung

R\times M\to M,\quad(r,m)\mapsto r\cdot m („Skalarmultiplikation“),

so dass gilt:

r_1\cdot(r_2\cdot m) = (r_1\cdot r_2)\cdot m
(r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m
r\cdot (m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_2

Fordert man zusätzlich noch 1\cdot m=m, so nennt man den Modul unitär.

Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Beispiele

Abelsche Gruppen

Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer \mathbb{Z}-Modul: Wegen

1\cdot m=m

sind höchstens

k\cdot m=(1+...+1) \cdot m=m+\ldots+m

und analog

(-k)\cdot m=-(m+\ldots+m)

(für natürliche Zahlen k) denkbar - da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung. (Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben).

Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst

Sei k[X] der Polynomring über einem Körper k. Dann entsprechen die k[X]-Moduln eins-zu-eins den Paaren (V,A) bestehend aus einem k-Vektorraum V und einem Endomorphismus A von V:

  • Sei M ein k[X]-Modul. Wir stellen fest, dass M auch ein k-Vektorraum ist, da k in k[X] eingebettet ist. Sei V dieser Vektorraum. Das zu M gehörige Paar ist nun (V,A), wobei dem A durch
V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v.
gegeben ist.
  • Zu einem Paar (V,A) definieren wir eine k[X]-Modulstruktur durch
X \cdot v := Av
und setzen das k-linear auf k[X] fort, d.h.:
p(X)\cdot v=p(A) v=a_0 v + a_1\cdot Av + a_2\cdot A^2v + \ldots + a_n\cdot A^nv
für p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\ldots+a_nX^n\in k[X].

Ringideale

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von R (da R in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

Moduln über einem beliebigen Ring

Es sei R ein Ring. Ist R nicht kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer \mathbb{Z}-bilinearen Abbildung

R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,

d.h.

(r1 + r2)m = r1m + r2m und r(m1 + m2) = rm1 + rm2,

so dass

r1(r2m) = (r1r2)m für alle r_1,r_2\in R,m\in M

gilt. Wird R als unitär angenommen, so fordert man meist auch, dass M ein unitärer Modul ist, d.h.

1\cdot m=m.

Ein R-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer \mathbb{Z}-bilinearen Abbildung

M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,

so dass

(mr1)r2 = m(r1r2) für alle r_1,r_2\in R,m\in M.

Unitäre Rechtsmoduln sind analog zu unitären Linksmoduln definiert.

Ist R kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von R-Moduln.

Alternative Definitionen

  • Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
R\to\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M.
Dabei ist \mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M der Ring der Endomorphismen von M mit der Verknüpfung als Produkt:
(f_1\cdot f_2)(m) = f_1(f_2(m)) für f_1,f_2\in\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M, m\in M.
  • Ein R-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
R\to(\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}};
Dabei sei (\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^\mathrm{op} der Ring der Endomorphismen von M mit der Rechtsverknüpfung als Produkt:
(f_1\cdot f_2)(m) = f_2(f_1(m)) für f_1,f_2\in(\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}}, m\in M.

Bimoduln

Es seien R und S Ringe. Dann ist ein R-S-Bimodul eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer R-Linksmodul- und einer S-Rechtsmodulstruktur, so dass

(rm)s = r(ms) für r\in R,s\in S,m\in M

gilt.

Alternativ ist ein R-S-Bimodul eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem Ringhomomorphismus

R\times S^{\mathrm{op}}\to\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M.

Moduln über einer assoziativen Algebra

Ist R ein kommutativer Ring und A eine assoziative R-Algebra, so ist ein A-Linksmodul ein R-Modul M zusammen mit einem R-Modulhomomorphismus

A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,

so dass

a1(a2m) = (a1a2)m für a_1,a_2\in A,m\in M

gilt.

Ein A-Rechtsmodul ist ein R-Modul M zusammen mit einem R-Modulhomomorphismus

M\otimes_RA\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,

so dass

(ma1)a2 = m(a1a2) für a_1,a_2\in A,m\in M

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Liealgebra

Es sei \mathfrak g eine Liealgebra über einem Körper k. Ein \mathfrak g-Modul oder eine Darstellung von \mathfrak g ist ein k-Vektorraum M zusammen mit einer k-bilinearen Abbildung

\mathfrak g\times M\to M,\quad (X,m)\mapsto X\cdot m = Xm,

so dass

[X,Y]m = XYmYXm für X,Y\in\mathfrak g,m\in M

gilt.

Alternativ ist ein \mathfrak g-Modul ein k-Vektorraum M zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über k

\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);

dabei ist \mathfrak{gl}(M) die k-Algebra der Endomorphismen von M mit dem Kommutator als Lieklammer.

\mathfrak g-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von \mathfrak g.

Moduln über einer Gruppe

Es sei (G,\cdot) eine Gruppe. Ein G-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einer Abbildung

G\times M\to M, (g,m)\mapsto gm:=g\cdot m,

so dass

g(m1 + m2) = gm1 + gm2 für g\in G,m_1,m_2\in M

und

(g1g2)m = g1(g2m) für g_1,g_2\in G,m\in M

gilt.

Ein G-Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

m(g1g2) = (mg1)g2 für g_1,g_2\in G,m\in M

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein G-Linksmodul eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G\to\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M;

dabei ist \mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M = (\mathrm{End}_{ \mathbb Z}\,M )^\times die Gruppe der Automorphismen von M mit der Verknüpfung

(f_1\cdot f_2)(m)=f_1(f_2(m)) für f_1,f_2\in\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M,m\in M.

Ein G-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G\to(\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}};

das Produkt auf (\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}} ist durch

(f_1\cdot f_2)(m)=f_2(f_1(m)) für f_1,f_2\in(\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}},m\in M

gegeben.

Ist R weiter ein Ring, so ist ein G-R-Modul eine abelsche Gruppe mit einer R-Modul- und einer G-Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

r(gm) = g(rm) für r\in R,g\in G,m\in M.

Alternativ ist ein G-R-Modul ein R-Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G\to\mathrm{Aut}_R\,M;

dabei ist AutR M die Gruppe der Automorphismen von M als R-Modul.

G-R-Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring R[G].

Ist k speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des G-k-Moduls mit dem der k-linearen Darstellung von G überein.

Siehe auch

Weblinks

http://www.mathematik-netz.de/pdf/Moduln.pdf Alexander Hölzle: Einführung in die Modultheorie.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Modul (Mathematik) — Ein Modul [ˈmoːdul] (maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːduln]) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt. Inhaltsverzeichnis 1 Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement 1.1 A …   Deutsch Wikipedia

  • Linksmodul — Links oder Rechts Modul berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra ist Spezialfall von additive Abelsche Gruppe trägt Operation eines Rings …   Deutsch Wikipedia

  • Modul über einem Ring — Links oder Rechts Modul berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra ist Spezialfall von additive Abelsche Gruppe trägt Operation eines Rings …   Deutsch Wikipedia

  • Moduln — Links oder Rechts Modul berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra ist Spezialfall von additive Abelsche Gruppe trägt Operation eines Rings …   Deutsch Wikipedia

  • Modultheorie — Links oder Rechts Modul berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra ist Spezialfall von additive Abelsche Gruppe trägt Operation eines Rings …   Deutsch Wikipedia

  • Untermodul — Der Begriff Untermodul verallgemeinert den Begriff des Untervektorraumes und den Begriff der Untergruppe einer kommutativen Gruppe auf Moduln. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1.1 Beispiele und weitere Definitionen 2 Summe von Untermo …   Deutsch Wikipedia

  • Tensorprodukt — Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: in der linearen Algebra und der Differentialgeometrie dient es der Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie entspricht… …   Deutsch Wikipedia

  • Produkt von Moduln — In vielen Gebieten der Mathematik spielen direkte Produkte (– oder einfach – Produkte) und Koprodukte der betrachteten Objekte eine besondere Rolle. Die Konstruktion solcher Produkte von Objektfamilien fußt oft auf dem kartesischen Produkt von… …   Deutsch Wikipedia

  • Halbeinfach — Als halbeinfach bezeichnet man in der Mathematik bestimmte Strukturen, die auf vergleichsweise leicht verständliche Weise aus „Grundbausteinen“ zusammengesetzt sind. Der Begriff wird im mathematischen Gebiet der Algebra in unterschiedlichen… …   Deutsch Wikipedia

  • Projektives Objekt — Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind projektive Objekte eine Verallgemeinerung des Begriffs der Freiheit in der Algebra. Ein Objekt P einer Kategorie C heißt projektiv, wenn es zu jedem Epimorphismus und jedem ein gibt, so dass …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”