Ausfallrate

Die Ausfallrate λ ist eine Kenngröße für die Zuverlässigkeit eines Objektes. Sie gibt an, wie viele Objekte in einer Zeiteinheit durchschnittlich ausfallen. Sie wird angegeben in 1/Zeit, also Ausfall pro Zeiteinheit. Ist die Ausfallrate konstant, ist der Kehrwert die mittlere Lebensdauer MTTF, bei reparablen Objekten die mittlere Zeit zwischen zwei Ausfällen MTBF. Eine spezielle Einheit für die Ausfallrate ist FIT Failure In Time mit der Einheit Ausfälle pro 10⁹ Stunden.

Beispiel: Hält ein Objekt mit konstanter Ausfallrate im Durchschnitt 100 Stunden, ist die Ausfallrate λ = 1/360000s

Welche Beziehung hat die Ausfallrate zur Zuverlässigkeit?

Die Ausfallrate ist - abgesehen vom Vorzeichen - der Quotient aus der Zeitableitung der Zuverlässigkeit und der Zuverlässigkeit selbst:

$\lambda(t) = - \frac{\frac{dR(t)}{dt}}{R(t)}$.

umgekehrt kann die Zuverlässigkeit durch die Ausfallrate bestimmt werden^[1]:

$R(t) = e^{- {\int\limits_{0}^{t} \lambda(x)dx}}$

Wovon hängt die Ausfallrate ab?

Die Ausfallrate hängt zunächst davon ab, ob das Objekt im Einsatz steht oder nicht. Bei Flugmotoren und anderen wird die Ausfallrate pro Betriebsstunde angegeben.

Die Ausfallrate hängt stark von der Umgebung, insbesondere von der Temperatur ab. Nach der RGT-Regel (Arrheniusgesetz) verdoppelt sich die Ausfallrate für eine Temperatursteigerung um etwa 10 °C. Temperaturzyklen (Wärme-Kälte) erhöhen die Ausfallrate massiv. Auch Erschütterungen, Strahlung (Sonnenlicht, Höhenstrahlung), Feuchtigkeit oder chemische Stoffe (z. B. salzige Luft) erhöhen die Ausfallrate. Dies wird in Alterungstest, wie dem Highly Accelerated Life Test, bewusst ausgenutzt.

Die Ausfallrate hängt auch vom Alter des Objektes ab. Typischerweise verfolgt die Ausfallrate eine Badewannenkurve. Am Anfang des Lebens ist die Ausfallrate hoch infolge „Kinderkrankheiten“: Produktionsfehlern und Einschaltstress. Objekte, die diese Phase überlebt haben, zeigen danach erstmal eine kleinere Ausfallrate.

Aus diesem Grund werden Objekte - insbesondere in der Elektronik - nach der Fabrikation einem Temperaturstress vor dem Testen unterworfen, um Objekte auszulesen, welche die Kinderkrankheiten bereits hinter sich haben („Burn-In“).

Danach bleibt die Ausfallrate eine ziemlich lange Zeit konstant, dies ist der Boden der Badewanne. Diese konstante Ausfallrate ist die Basis der allermeisten Zuverlässigkeitsberechnungen, weil sie mathematisch einfach zu behandeln ist.

Mit zunehmendem Alter vergrößert sich die Ausfallrate wieder infolge „Alterskrankheiten“: mechanischer Verschleiß, chemische Zersetzung der Materialien, Isolationsdurchbruch bei elektrischen Anlagen, Einwirkung von UV-Strahlung oder Neutronenbeschuss auf die Materialfestigkeit.

Schließlich hängt die Ausfallrate von der Wartung ab.

Wie misst man die Ausfallrate?

Die Ausfallrate kann nicht an einem einzelnen Objekt gemessen werden. Sie wird aus Beobachtungen an einer größeren Anzahl gleicher Objekten geschätzt. In einem solchen statistischen Experiment wird die empirische Verteilungsfunktion der Lebensdauer bestimmt. Die empirische Verteilungsfunktion ist eine Stufenfunktion mit einer Stufe für jeden ermittelten Ausfallzeitpunkt.

Die Ausfallrate zu einer bestimmten Zeit ist dann gegeben durch die Anzahl Objekte, die in einem bestimmten Zeitintervalls (z. B. einen Tag) ausfallen, dividiert durch die Anzahl guter Objekte am Anfang des Zeitintervalls.

Ausfallratemessungen an Glühbirnen
oben: Kurve der funktionierenden Glühbirnen über der Zeit
unten: Ausfallsrate, es ergibt sich hier ein auch für viel andere Produkte typisches Badewannenprofil der Ausfallswahrscheinlichkeit

Zum Beispiel werden 10 000 Glühbirnen gemessen (Bild). Am 19. Tag blieben noch 9 600 Birnen übrig und an diesem Tag fielen 5 Glühbirnen aus. Die Ausfallrate am 19. Tag war also 5/9600/24 = 21.7 pro Million Stunden = 21.700 fit.

Statistisch gesehen ist es nämlich gleichwertig, ob die Ausfallrate in Ausfall pro Stunde eines bestimmten Objektes oder in Anzahl ausgefallene Objekte pro Stunde einer großen Menge angegeben ist.

Oft wird diese Messung unter erhöhtem Temperaturstress und insbesondere unter Temperaturzyklen oder unter Bestrahlung durchgeführt, um die Lebenszeit zu verkürzen und schneller zu Resultaten zu kommen.

Damit lassen sich Kataloge der Ausfallrate der Bauteile erstellen, wie z.B. die MIL-STD 217 der USA Streitkräfte. Die darin enthaltene Ausfallraten werden für verschiedene Einsatzgebiete (Gebäude, Fahrzeuge, Schiffe, Helikopter,…) und Temperaturen angegeben.

Die Ingenieure können auch diese Ausfallraten korrigieren oder schätzen aus Erfahrungen der Reparaturwerkstatt.

Auch können mathematische Modelle die Ausfallrate voraussagen, z.B. durch Berechnung von Risswachstum an Turbinenschaufeln.

Wie wird die Ausfallrate bei Systemen von Objekten berechnet?

Bei einem System von Objekten wird die Ausfallrate des Systems berechnet als die Summe der Ausfallrate der einzelnen Elemente. Dabei wird davon ausgegangen, dass der Verlust irgendeines Elements zum Ausfall des Systems führt, was nicht der Fall ist, wenn das System Redundanz ausweist (siehe MTBF).

Zum Beispiel besteht eine Blinklampe aus

• 20 Widerstände = 20 x 0.1 fit +
• 3 Transistoren = 3 * 1 fit +
• 2 Kondensatoren = 2 * 0.5 fit und
• 1 Batterie = 200 fit.

Die totale Ausfallrate ist 206 fit, die mittlere Lebensdauer ist 550 Jahre. Diese Zahl gilt aber nur unter der Voraussetzung, dass die Batterie regelmäßig ausgewechselt wird: Die Batterie hat zu Anfang eine kleine Ausfallrate, die aber mit zunehmender Entladung stark ansteigt.

Mathematik

Wenn f(t) die Wahrscheinlichkeitsdichte für einen Ausfall zur Zeit t ist, dann bestimmt die Funktion

$\lambda(t) = \frac{f(t)}{1-F(t)}$

mit der Lebensdauer t als reeller Variablen die Ausfallrate.

$F(t) = \int\limits_{0}^{t}f(\tau)d\tau$ ist die Lebensdauerverteilung.

Alternativ kann man die Ausfallrate darstellen als

$\lambda(t) = -\frac{d}{dt}\ln(1-F(t))$

und damit

$F(t) = 1 - e^{-\int\limits_{0}^{t}\lambda(\tau)d\tau}$

Kreditwesen

Die Ausfallrate bestimmt sich nach den gerateten Krediten multipliziert mit deren Ausfallwahrscheinlichkeit.

Weblinks

• Fault Tolerant Computing in Industrial Automation by Hubert Kirrmann, ABB Research Center, Switzerland (PDF-Datei; 1,16 MB)

Einzelnachweise

1. ↑ http://www.statistik.tuwien.ac.at/public/dutt/vorles/inf_bak/node90.html