Quotientenobjekt

Der Begriff Epimorphismus wird in der Mathematik unterschiedlich gebraucht. In der universellen Algebra ist ein Epimorphismus ein Homomorphismus, der surjektiv ist. In der Kategorientheorie ist Epimorphismus der duale Begriff zu Monomorphismus und verallgemeinert den (mengentheoretischen) Begriff der surjektiven Abbildung.

Äquivalent sind die beiden Begriffe zumindest in den folgenden Fällen:

• Vektorräume oder allgemeiner Moduln
• (abelsche) Gruppen

Epimorphismus in der Kategorientheorie

In der Kategorientheorie ist ein Epimorphismus ein Morphismus $f: X \to Y$ mit folgender Eigenschaft:

Sind g, h: Y → Z beliebige Morphismen mit g o f = h o f, dann ist stets g = h. (Man sagt auch: f ist "rechts kürzbar".)

Y (zusammen mit f) heißt dann ein Quotientenobjekt von X.

Spezielle Epimorphismen

Ein Epimorphismus f heißt extremal, wenn er Epimorphismus ist und zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:

Ist f = m o g, wobei m ein Monomorphismus ist, dann muss m ein Isomorphismus sein.

Beispiele

Epimorphismen von Vektorräumen oder allgemein Moduln sowie (abelschen) Gruppen sind genau die surjektiven Homomorphismen.

Epimorphismen von Ringen sind im allgemeinen nicht surjektiv, s.u.

In den Kategorien Set, Grp sind die Epimorphismen genau die extremalen Epimorphismen, und zwar die surjektiven Morphismen.

In der Kategorie der topologischen Räume sind die Epimorphismen die surjektiven stetigen Abbildungen und die extremalen Epimorphismen die Quotientenabbildungen.

In der Kategorie Top₂ der Hausdorffräume sind die extremalen Epimorphismen die gleichen wie in Top, jedoch die Epimorphismen sind die stetigen Abbildungen mit dichtem Bild. Diese Tatsache wird häufig ausgenutzt bei so genannten "Dichteschlüssen": Um zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich dom (ein Hausdorff-Raum) gleich sind, genügt es zu zeigen, dass sie auf einer dichten Teilmenge D des Definitionsbereichs übereinstimmen. Die Inklusionsabbildung D -> dom ist ein Epimorphismus, woraus die Gleichheit auf dem gesamten Definitionsbereich folgt.

In der Kategorie BanSp₁ sind die Epimorphismen die linearen stetigen Abbildungen mit dichtem Bild (Banachräume sind Hausdorffsch) und die extremalen Epimorphismen sind die surjektiven stetigen linearen Abbildungen.

Epimorphismus in der universellen Algebra

In der universellen Algebra ist ein Epimorphismus definiert als surjektiver Homomorphismus.

Beispiele

Ist $f\colon A\to B$ ein Homomorphismus, so ist

$A\to\mathrm{im}\,f$

surjektiv, also ein Epimorphismus.

Zu jedem Normalteiler N einer Gruppe G gibt es einen kanonischen Epimorphismus p: G → G/N, der ein Element g von G auf seine Restklasse gN abbildet.

Bekannteste Beispiele für kanonische Epimorphismen sind die Abbildungen, die einer ganzen Zahl ihren Rest bei Division durch eine natürliche Zahl m zuordnet, wobei dieser Rest als Element des Restklassenringes Z/mZ aufgefasst wird.

Die Parallelprojektion ist in der linearen Algebra ein Vektorraum-Homomorphismus, der einen Vektorraum surjektiv auf einen Untervektorraum abbildet.

Beispiel: nicht surjektiver Ringepimorphismus

Bei Ringen sind die beiden oberen Definitionen nicht verträglich. Betrachten wir die Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen:

$i\colon\mathbb Z\longrightarrow\mathbb Q,\quad z\mapsto z$

Sie ist nicht surjektiv und somit kein Epimorphismus im Sinne der universellen Algebra. Er ist jedoch ein Epimorphismus in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement.

Beweis: Wir wollen zeigen, dass i rechtskürzbar ist. Sei R ein beliebiger kommutativer Ring mit Eins und seien

$a,b\colon{\mathbb Q}\longrightarrow R$

zwei Ringhomomorphismen. Wir nehmen an, dass die Verkettungen $a \circ i$ und $b \circ i$, also die Einschränkungen von a bzw. b auf $\mathbb Z$, übereinstimmen, d.h.

a(n) = b(n)

für alle ganzen Zahlen n. Es seien p und $q\ne0$ ganze Zahlen. Wir bemerken zunächst, dass a(q) wegen

$a(q)\cdot a\!\left(\frac1q\right)=a(1)=1$

eine Einheit in R ist. Damit darf man in

$a(q)\cdot a\!\left(\frac pq\right)=a(p)$

durch a(q) dividieren, es gilt also

$a\!\left(\frac pq\right)=\frac{a(p)}{a(q)},$

entsprechend für b. Damit folgt

$a\!\left(\frac pq\right)=\frac{a(p)}{a(q)}=\frac{b(p)}{b(q)}=b\!\left(\frac pq\right).$

Wir haben somit gezeigt, dass die Abbildungen a und b identisch sind, und daher bewiesen, dass i rechtskürzbar ist. Die Abbildung i ist ein Epimorphismus im kategoriellen Sinne.

q.e.d.

Siehe auch

• Monomorphismus
• Isomorphismus
• Homomorphiesatz